Question

QUESTÃO 4
A direção da reta é obtida por meio do vetor diretor da reta, o qual é um vetor
paralelo à reta considerada. Suponhamos que você queira escrever a equação
de uma reta r que passa pelo ponto P(x, y, z) e que seja paralela ao vetor v =
(a,b,c). Sabemos que uma reta nada mais é que um conjunto de pontos. Neste
caso, para um ponto Q(x, y, z) pertencer a retar, o vetor PQ deve ser paralelo a
ů, PQ = lv, o que neste caso nos fornece
PQ = (x - Xoy - Yo, z-zo) = 1(a,b,c) = lv.
Isso nos fornece:
(- = a
19 - yo = ab
(z - Zo = nc
(x = 3 - 2
Considere o ponto C = (0, -1, 3) e a reta r: y= 1.
(3=1+1
Determine o plan o ß que passa pelo ponto Ce é perperdicular à reta r.
O vetor normal ao plano ß é (3, 0, 1)
A equação do plano ß: x + y + z-3 = 0
A equação do plano ß: -x - y + Z-1 = 0
O vetor normal ao plano ßé (-1.1, 1)
A equação do plano ß: -X + y + z -2 = 0​

Answer 1

O vetor normal ao plano ß é (-1,1,1)  e a equação do plano ß é -x + y + z -2 = 0​.

A reta r é:

{x = 3 - t

{y = t

{z = 1 + t

Solução

A equação cartesiana de um plano é da forma ax + by + cz = d, sendo (a,b,c) o seu vetor normal.

De acordo com o enunciado, a reta r é perpendicular ao plano β. Isso quer dizer que o vetor direção da reta é o vetor normal do plano.

O vetor direção da reta é (-1,1,1).

Sendo assim, temos que a equação do plano é da forma -x + y + z = d.

Para calcularmos o valor de d, vamos substituir o ponto C = (0,-1,3) na equação acima:

-0 + (-1) + 3 = d

d = -1 + 3

d = 2.

Portanto, a equação do plano β é -x + y + z = 2.

Analisando as afirmativas, podemos concluir que: O vetor normal ao plano ß é (-1,1,1)  e a equação do plano ß é -x + y + z -2 = 0​.