Questão 30
A quantidade de maneiras diferentes que se pode trocar
uma moeda de 50 centavos em moedas de 5, 10 e 25
centavos é de:
A) 10.
(B) 9.
(C) 11.
(D) 5.
(E) 15.
me ajudem me explicando por favor!!! A resposta no gabarito é a letra A)10
Soluções para a tarefa
O que essa questão pede é de quantas maneiras diferentes eu posso trocar 50 centavos usando moedas de 5,10 e 25 centavos.Veja que não é necessário que usemos todas as três moedas simultaneamente para a troca,mas devemos usar pelo menos um valor dentro dos três possíveis.
Pelo exposto acima,suponha que x,y,z representem as quantidades de moedas de 5,10 e 25 centavos, respectivamente. A resposta equivale ao número de soluções inteiras não negativas da equação abaixo.
5x+10y+25z=50
Simplificando por 5:
x+2y+5z=10
Se todos os coeficientes das variáveis fossem unitários, a resposta seria dada por uma combinação completa de 10,3 a 3.Não é o caso,já que o coeficiente de y é 2 e o de z é 5.Porém, veja que o valor máximo de z é 2,referente a solução (0,0,2).Logo,z=0 ou z=1 ou z=2.Vamos analisar cada caso para z.
I. z=0
Se z=0, então x+2y=10.As soluções para esta equação são (0,5),(2,4),(4,3),(6,2),(8,1),(10,0),isto é,6 soluções ao todo.
II.z=1
Aqui x+2y=5,cujas soluções são (1,2),(3,1),(5,0).3 soluções ao todo.
III.z=2
Para z=2, já teríamos 5z=10.Logo,x e y são nulos.
Portanto, todas as soluções possíveis são:
(0,5,0),(2,4,0),(4,3,0),(6,2,0),(8,1,0),(10,0,0),(1,2,1),(3,1,1),(5,0,1) e (0,0,2).Ao todo são
10 soluções possíveis,conforme o gabarito.
Sugiro para reforçar o entendimento desta resolução estudar mais sobre combinações completas,assunto relacionado à Análise Combinatória.