Question

QUESTÃO 3
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, então um vetor não nulo v pertencente
ao Rn é denominado autovetor de A se Av for múltiplo escalar de v, isto é
Av=λv,
em que é um número real (escalar). O escalar λ é denominado autovalor de
A, e denominamos v autovetor associado a λ
Uma vez calculados os autovalores da matriz A, seus autovetores podem ser
encontrados resolvendo o sistema de equações (A -λI)v=0 para cada
autovalor encontrado
Considere a matriz A a seguir:

IMAGEM

Sabendo que os autovalores associados a matriz A são λ=2 e λ =4, identifique
os autovetores de A

Answer 1

Sabemos que a matriz

$A = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ -1 & 5\end{bmatrix}$

tem valores próprios $\lambda = 2$ e $\lambda = 4$.

Seja $\vec{v} \in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}$ o vetor próprio associado ao valor próprio $\lambda = 2$ . Temos então:

$A\vec{v} = \lambda\vec{v} \iff \begin{bmatrix}1 & 3 \\ -1 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix}x + 3y\\-x+5y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2x\\2y\end{bmatrix},$

onde se escreveu $\vec{v} = \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$, com $x, y \in\mathbb{R}$ não simultaneamente nulos.

Resolvendo o sistema, vem:

$\begin{bmatrix}x + 3y\\-x+5y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2x\\2y\end{bmatrix} \iff \begin{cases}x + 3y=2x\\-x+5y=2y\end{cases}\hspace{-.5cm} \iff \begin{cases}-x + 3y = 0\\-x+3y=0\end{cases}\hspace{-.4cm} \iff x = 3y.$

Note que o sistema é possível e indeterminado, uma vez que se um dado $\vec{v}$ é vetor próprio associado a um dado valor próprio, também $k\vec{v}$ é valor próprio associado ao mesmo valor próprio, com $k\neq 0$. Temos então que, para cada $y \neq 0$, temos vetores próprios:

$\vec{v} = \begin{bmatrix}3y \\ y\end{bmatrix} = y\begin{bmatrix}3 \\ 1\end{bmatrix}.$

Concluímos daqui que a afirmação I) é correta, enquanto as afirmações IV), e V) são incorretas.

Seja agora $\vec{v} \in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}$ o vetor próprio associado ao valor próprio $\lambda = 4$ . Temos então:

$A\vec{v} = \lambda\vec{v} \iff \begin{bmatrix}1 & 3 \\ -1 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = 4\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix}x + 3y\\-x+5y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4x\\4y\end{bmatrix},$

onde se escreveu uma vez mais $\vec{v} = \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$, com $x, y \in\mathbb{R}$ não simultaneamente nulos.

Resolvemos agora o sistema:

$\begin{bmatrix}x + 3y\\-x+5y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4x\\4y\end{bmatrix} \iff \begin{cases}x + 3y=4x\\-x+5y=4y\end{cases}\hspace{-.5cm} \iff \begin{cases}-3 + 3y = 0\\-x+y=0\end{cases}\hspace{-.4cm} \iff x = y.$

Temos então que, para cada $y \neq 0$, temos vetores próprios:

$\vec{v} = \begin{bmatrix}y \\ y\end{bmatrix} = y\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}.$

Concluímos daqui que a afirmação II) é correta, enquanto a afirmação III) é incorreta.

Resposta: $\textrm{As afirma\c{c}\~{o}es I) e II) s\~{a}o corretas.}$

Answer 2

Resposta:

NÃO TEM A OPÇÃO I e II COMO ALTERNATIVAS

Alternativas

Alternativa 1:

I, II, III e IV.

Alternativa 2:

II e III, apenas.

Alternativa 3:

III e IV, apenas.

Alternativa 4:

I, II e III, apenas.

Alternativa 5:

II, III e IV, apenas.