Question

QUESTÃO 3

O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia.
Considere a transformação abaixo:

T(x,y)=(x+2y,2x+y)

Quais os autovalores e autovetores relacionados a essa transformação?
Alternativas
Alternativa 1:
Autovalores = -1 e 3; Autovetores = (1,-1) e (1,1)

Alternativa 2:
Autovalores = 1 e 3; Autovetores = (1,-1) e (1,1)

Alternativa 3:
Autovalores = 1 e -3; Autovetores = (1,-1) e (1,1)

Alternativa 4:
Autovalores = -1 e 3; Autovetores = (1,3) e (-1,3)

Alternativa 5:
Autovalores = -1 e 1; Autovetores = (1,-1) e (1,1)

Answer 1

Analisando os autovalores e autovetores da transformação linear dada na questão, concluímos que, a alternativa correta é a alternativa 1.

Transformação linear

A transformação linear T dada na questão proposta é conhecida como operador linear, pois está definida entre dois espaços vetoriais iguais.

Nesse caso, podemos calcular valores reais k, tais que T(v) = k*v. As soluções reais associadas a incógnita k são chamadas de autovalores de T e os vetores v são chamados de autovetores associados ao autovalor k.

Para encontrar os valores de k, podemos igualar o determinante da matriz T - k*I ao valor zero. Para a transformação linear T da questão, temos que:

$det(T - k*I) = det \begin{pmatrix} 1-k & 2 \\ 2 & 1 - k \end{pmatrix} = (1 - k)^2 - 4 = 0$

$k^2 -2k - 3 = 0 \Rightarrow x = - 1 \quad x = 3$

E utilizando os autovalores encontrados podemos utilizar os autovetores associados. Para k = - 1, temos:

T(x, y) = (-x, - y)

(x + 2y, 2x + y) = (-x, -y)

(2x + 2y, 2x + 2y) = (0, 0)

2x + 2y = 0

x = -y

Os autovetores associados ao autovalor -1 possuem a forma (-y, y). Analisando as alternativas, obtemos o vetor (1, -1).

Para k = 3, podemos escrever:

(x + 2y, 2x + y) = (3x, 3y)

(-2x + 2y, 2x - 2y) = (0, 0)

-2x + 2y = 0

x = y

Os autovetores associados ao autovalor 3 são da forma (x, x). Analisando as opções dadas na questão, temos como representante o vetor (1, 1).

Para mais informações sobre autovalores, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/41797257

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