Question

QUESTÃO 3: De quantos modos 8 pessoas podem ocupar duas salas distintas, devendo cada sala conter pelo
menos 3 pessoas?

Answer 1

$\mathsf{C_{_n}^{^p} \ = \ \dbinom{n}{p} \ = \ \dfrac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!}} \ \rightarrow$

$\mathsf{C_{_n}^{^p} \ = \ N\'umero \ de \ combina\c{c}\~oes \ de \ n \ tomados \ p \ a \ p}$

Sejam $\mathsf{j \ + \ n \ = \ 8}$ o número de pessoas em cada sala, tais que $\mathsf{j, \ n \ \geq \ 3}$.

Só temos o seguinte conjunto de pares ordenados que satisfazem a restrição:

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{(3,5)}}_{2!}, \ (4,4)}$

Note que, ao escolhermos o grupo para a primeira sala, o grupo da segunda sala ("restante") fica autodeterminado. Além disso, a ordem na escolha não nos importa.

$\bullet$ Para os pares $\mathsf{(3, \ 5) \ | \ (5, \ 3)}$:

Vamos escolher $\mathsf{3}$ pessoas para o primeiro grupo, por exemplo, e o segundo fica autodeterminado com as $\mathsf{5}$ que restaram. Depois, permutemos os grupos entre as salas, o que equivale a permutar $\mathsf{(3. \ 5) \ | \ (5, \ 3)}$:

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{\dbinom{8}{3}}}_{primeiro \ grupo} \ \underbrace{\mathsf{\cdot}}_{e} \ \underbrace{\mathsf{2!}}_{(3, \ 5) \ | \ (5, \ 3)} \ \rightarrow}$

$\mathsf{\dfrac{8!}{5! \ \cdot \ 3!} \ \cdot \ 2! \ \therefore \ \boxed{\mathsf{112 \ possibilidades}}}$

$\bullet$ Para o par $\mathsf{(4, \ 4)}$:

Vamos escolher $\mathsf{4}$ pessoas para o primeiro grupo, e o segundo fica autodeterminado com os $\mathsf{4}$ restantes. Aqui não é necessária a permutação do número de pessoas entre as salas, pois esse é o mesmo para ambas as salas.

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{\dbinom{8}{4}}}_{primeiro \ grupo} \ \rightarrow}$

$\mathsf{\dfrac{8!}{4! \ \cdot \ 4!} \ \therefore \ \boxed{\mathsf{70 \ possibilidades}}}$

Como podemos ou ter grupos com $\mathsf{5}$ e $\mathsf{3}$ ou com $\mathsf{4}$ e $\mathsf{4}$, então, no total, temos $\mathsf{112 \ + \ 70 \ = \ \boxed{\boxed{\mathsf{182 \ possibilidades \ \checkmark}}}}$