Question

Questão 3: Considere a função f(x) = 5x²− 850x + 1000 , apresente:

a) (0,2pontos) A derivada de primeira ordem da função.
b) (0,2pontos) Usando a derivada de primeira ordem da função determine o
seu ponto crítico.
c) (0,2 pontos) Avalie a derivada de primeira ordem da função para o ponto
crítico do item b).
d) (0,2 pontos) Determine pela derivada de primeira ordem o crescimento /
decrescimento da função. Sugestão: escolha valores do domínio da função
menores que o ponto crítico e valores do domínio da função maiores que
o ponto crítico. Avalie a derivada da função nestes valores escolhidos para
estudar o comportamento da função.
e) (0,2 pontos) Construa o gráfico da função.

Answer 1

$f(x) = 5x^2 - 850x + 1000$

a)

$f'(x) = 2 * 5x - 850\\f'(x) = 10x - 850$

b)

$f'(x) = 0\\10x - 850 = 0\\10x = 850\\x = \frac{850}{10} \\x = 85$

$f(85) = 5(85)^2 - 850(85) + 1000 = -35125$

$P(85, -35125)$

c)

$f'(x)$ é uma reta com coeficiente angular positivo, logo é uma reta onde valores anteriores são negativos e após isso é positivo. Isso significa que é um ponto que desce e depois sobe, logo é um mínimo relativo. Não precisaríamos realizar os cálculos só com essa observação que fiz da reta. Porém, podes achar útil, então farei.

d)

$f'(x) > 0\\f'(80) > 0 = -50 > 0 Decrescente\\f'(100) > 0 = 150 > 0 Crescente$

e) Deixei uma imagem do gráfico.