Question

Questão 3 – (600 pontos) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
f(x,y)=X^16*Y^-3+16*X^4*Y^-16

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x,y) = x {}^{16} .y {}^{ - 3} + 16x {}^{4} .y {}^{ - 16}$

Primeiro vamos encontrar as derivadas parciais em relação a "x" e a "y":

$\sf f_x(x,y) = 16x {}^{15} .y {}^{ - 3} + 64x {}^{3} .y {}^{ - 16}$

$\sf f_y(x,y) = - 3x {}^{16} .y {}^{ - 4} - 256x {}^{4} .y {}^{ - 17}$

Agora vamos encontrar a derivada parcial de segunda ordem de cada uma dessas funções:

$\sf f_{xx}(x,y) = 240x {}^{14} .y {}^{ - 3} + 192x {}^{2} .y {}^{ - 16} \: \: \: \: \\ \\ \sf f_{xy}(x,y) = - 48x {}^{15} .y {}^{ - 4} - 1024x {}^{3} .y {}^{ - 17}$

As derivadas parciais mistas f(xy) e f(yx) sempre devem ser iguais, vamos ver se a derivada será igual.

$\sf f_{y x}(x,y) - 48x{}^{15} .y {}^{ - 4} - 1024x {}^{3}.y {}^{ - 17} \\ \\ \sf f_{yy}(x,y) = 12x {}^{16} .y {}^{ - 5} + 4352x {}^{4}.y {}^{ - 18}$

De fato são iguais.

Espero ter ajudado