Question

QUESTÃO 3 (3,5)
Um pedaço de papelão quadrado, com 21cm de lado, será transformado numa caixa sem tampa (em forma
de paralelepípedo reto-retângulo). Para isso é necessário recortar quadradinhos iguais dos quatro vértices
desse quadrado e a caixa é formada dobrando-se para cima a parte que sobra (as 4 abas) de forma que a
caixa possua altura igual à medida dos lados desses quadradinhos. Calcule:
a) a medida dos lados dos quadradinhos para que o volume dessa caixa seja máximo;
b) o volume máximo que essa caixa pode ter.

Answer 1

• Observe a figura anexa.
• Se a medida do lado do papelão é 21 cm e sendo x a medida do quadradinho a ser recortado, então a medida do lado da base da caixa após ser recortado os quadradinhos é (21 − 2x) cm, a área da base será portanto (21 − 2x)² e seu volume será a área da base vezes sua altura que é x.

V = x(21 −2x)² ⟹ Desenvolvendo essa equação obtém-se:

V = 4x³ − 84x² + 441x

• Observe que o volume da caixa é representado por uma equação do terceiro grau.
• A derivada de uma equação num determinado ponto é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto.
• Portanto se derivarmos a função, igualá-la a zero e determinarmos suas raízes, obtém-se os valores de x para os quais o coeficiente angular da reta tangente à curva é zero e portanto serão, para determinado intervalo, valores de máximo e mínimo da função, sendo que um deles representa o valor de x cujo volume será máximo.

• Vamos portanto derivar essa função, igualá-la a zero e determinar suas raízes para obter o valor de x para volume máximo.

f(x) = 4x³ − 84x² + 441x

f'(x) = 3•4x² − 2•84x + 441

f'(x) = 12x² − 168x + 441 ⟹ Iguale a zero para determinar as raízes.

12x² − 168x + 441 = 0 ⟹ divida ambos os membros por 3.

4x² − 56x + 147 = 0

• Determine as raízes usando a fórmula de Bhaskara.

$\large \text { \sf x = \dfrac {-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a} }$

onde: a = 4, b = −56, c = 147

$\large \text { \sf x = \dfrac {-(-56) \pm \sqrt {(-56)^2-4 \cdot 4 \cdot 147}}{2 \cdot 4} }$

$\large \text { \sf x = \dfrac {56 \pm \sqrt {3136 -2352}}{8} }$

$\large \text { \sf x = \dfrac {56 \pm \sqrt {784}}{8} }$

$\large \sf x = \dfrac {56 \pm 28}{8}$

$\large \sf x_1 = \dfrac {56 + 28}{8} = \dfrac {84}{8} = 10,5$

• Observe que o valor x₁ = 10,5 cm deve ser descartado pois é a metade de 21 e portanto a base da caixa teria área zero.

$\large \sf x_2 = \dfrac {56 - 28}{8} = \dfrac {28}{8} = 3,5$

Portanto a medida dos lados dos quadradinhos para que o volume dessa caixa seja máximo é de 3,5 cm.

• O volume máximo que essa caixa pode ter será:

V = x(21 −2x)²

V = 3,5 × (21 − 2 × 3,5)²

V = 3,5 × (21 − 7)²

V = 3,5 × 14²

V = 3,5 × 196

V = 686 cm³

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