Question

(QUESTÃO 24 DA PROVA DA AFA 2016)Considere os pontos A (4,−2), B(2,0) e todos os pontos P(x,y), sendo x e y números reais, tais que os segmentos PA e PB são catetos de um mesmo triângulo retângulo.
É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos P (x,y) são tais que

a)São equidistantes de C(2,-1)
b)O maior valor de x é 3+ raiz de 2
c)O menor valor de y é -3
d)x pode ser nulo

Answer 1

Vamos lá.

Egg, eu encontrei que, na falta de uma opção que desse que todos os pontos (x; y) são equidistantes de C(3; -1), a resposta seria esta: o maior valor de "x" é: 3 + √(2).

Bem, vamos ver como é que desenvolvemos.

Tem-se que todos os pontos A(4; -2), B(2; 0) e todos os pontos P(x; y), sendo "x" e "y" números reais, são tais que PA e PB são catetos de um mesmo triângulo retângulo.

i) Veja: se são catetos de um mesmo triângulo retângulo, então se considerarmos um triângulo PAB esse triângulo será retângulo em "P", pois só assim as distâncias PA e PB são catetos de um triângulo retângulo, ficando a distância AB como a hipotenusa.

ii) Então vamos encontrar as distâncias PA, depois PB, e finalmente AB.

ii.a) Distância A(4; -2) a B(2. 0) . Assim:

(AB)² = (2-4)² + (0-(-2))²
(AB)² = (-2)² + (2)²
(AB)² = 4 + 4
(AB)² = 8     (I) <----- esta é a medida da hipotenusa ao quadrado.

ii.b) Distância de A(4; -2) a P(x; y)

(PA)² = (x-4)² + (y-(-2))²
(PA)² = (x-4)² + (y+2)²
(PA)² = x²-8x+16 + y²+4y+4 ----- ou:
(PA)² = x²+y²-8x+4y+20    . (II) <---- Esta é a medida do cateto PA ao quadrado.

i.b) Distância de B(2; 0) a P(x; y)

(PB)² = (x-2)² + (y-0)²
(PB)² = x²-4x+4 + y² ----- ou:
(PB)² = x²+y²-4x+4  . (III) <---- Esta é a medida do cateto PB ao quadrado.

ii) Agora vamos utilizar Pitágoras (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado). Assim:

8 = x²+y²-8x+4y+20 + x²+y²-4x+4 - reduzindo os termos semelhantes:
8 = 2x²+2y²-12x+4y+24 ----- vamos apenas inverter, ficando:

2x²+2y²-12x+4y+24 = 8 ------ para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

x²+y² - 6x + 2y + 12 = 4 ---- ou:
x² + y² - 6x + 2y = 4 - 12
x² + y² - 6x + 2y = - 8 ----- Vamos ordenar, ficando:
x²-6x + y²+2y = - 8 ----- agora vamos formar os quadrados no primeiro membro, observando que deveremos subtrair aqueles números que forem acrescidos por força da formação dos quadrados. Assim:

(x-3)² - 9 + (y+1)² - 1 = - 8
(x-3)² + (y+1)² - 10 = - 8 ---- ou apenas
(x-3)² + (y+1)² = - 8+10
(x-3)² + (y+1)² = 2    . (IV)

Veja que a equação acima é de uma circunferência, cujo centro está em:

C(3; -1) e raio = √(2) .

iii) Ora se o centro está em C(3; -1) então todos os pontos P(x; y) serão equidistantes desse centro C(3; -1).

Mas como uma das opções mais aproximadas é C(2; -1), então esta não será a resposta. Estávamos propensos a pedir que você revisse a questão pra ver se não haveria um engano ao colocar esse ponto C. Contudo, considerando que a opção do item "b" é uma resposta válida, então ficamos com ela. Ou seja: o maior valor que "x" assumiria será o "3" do centro mais o raio  √(2). Então ficaremos com essa outra resposta, que é:

o maior valor de "x" é: 3+√(2) ----- Esta seria a nossa resposta. Opção "b".

Verifique qual é a resposta que o gabarito dá e veja se acertamos ou não.

É isso aí.
Deu pra entender bem o nosso desenvolvimento?

OK?
Adjemir.