Question

(QUESTÃO 20 DA PROVA DA AFA 2016)Considere os polinômios
Q(x)= x^2 -2x +1
e P(x)=x^3 -3x^2 -ax +b, sendo a e b números reais tais que a^2-b^2=-8
Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que
pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO

afirmar sobre as raízes de P(x) que:

a) podem formar uma progressão aritmética.

b) são todas números naturais.

c) duas são os números a e b

d) duas são números simétricos.

Answer 1

Os polinômios possuem um ponto em comum que pertence ao eixo das abcissas, isso significa que têm uma raiz em comum.

$x^2 - 2x + 1 = 0 \\ (x-1)^2 = 0 \\ x = 1$

Ou seja, P(x) tem uma raiz igual a 1:

$1^3 -3\cdot 1^2-a \cdot 1 + b = 0 \\ b = a+2$

Substituindo isso na expressão dada:

$a^2 - b^2 = -8 \\ a^2 - (a+2)^2 = -8 \\ a = 1$

Daí:

$b = a + 2 = 1 + 2 = 3$

Portanto:

$P(x) = x^3 - 3x^2-x+3$

Fatorando:

$P(x) = x^3 - 3x^2-x+3 \\ P(x) = x^2\cdot (x-3)-(x-3) \\ P(x) = (x^2-1) \cdot (x-3) \\ P(x) = (x+1)\cdot (x-1) \cdot (x-3)$

As raízes de P(x) são -1,1,3.

Analisando as alternativas vemos que a incorreta é letra B)

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Egg, que a resolução é simples, porém não tão singela como poderíamos supor à primeira vista.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que:

P(x) = x³ - 3x² - ax + b    . (I)
Q(x) = x² - 2x + 1          . (II)
e que "a" e "b" são números reais, tais que:

a² - b² = - 8        . (III)

ii) Se os gráficos de P(x) e Q(x) têm um ponto comum que
pertence ao eixo das abscissas, então esse ponto é uma raiz comum de P(x) e de Q(x).
Outra coisa: se o gráfico dessas duas funções corta o eixo dos "x" num único ponto, então, nesse ponto, a ordenada "y" é zero. Nesse caso, vamos igualar a zero as duas funções, vistas nas expressões (I) e (II). Logo:

P(x) = x³ - 3x² - ax + b ----- fazendo P(x) = 0, teremos:
x³ - 3x² - ax + b = 0
e
Q(x) = x²-2x+1 ----- fazendo Q(x) = 0, teremos:
x² - 2x + 1 = 0

Note: que quando fizemos Q(x) = 0, ficamos com a expressão acima, que é esta:

x² - 2x + 1 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = x'' = 1 <--- Esta é a única raiz de Q(x).

Ora, se é a única raiz de Q(x),  então "1" também será raiz de P(x), pois P(x) e Q(x) têm um ponto em comum no eixo dos "x".
Logo, poderemos substituir o "x" por "1" em P(x), já que "1" também é raiz de P(x). Então fazendo isso, teremos (vamos apenas repetir P(x) quando P(x) é igual a zero):

x³ - 3x² - ax + b = 0 ---- substituindo-se "x" por "1", teremos:
1³ - 3*1² - a*1 + b = 0
1 - 3 - a + b = 0
- 2 - a + b = 0 ---- passando "-2" para o 2º membro, teremos;
- a + b = 2 ----- passando "-a" para o 2º membro, teremos:
b = 2 + a    . (IV)

iii) Mas note ainda que temos a seguinte relação entre "a" e "b", que foi dada no enunciado da questão, que é a expressão (III), ou seja, temos que:

a² - b² = - 8 ------- vamos substituir "b" por  "2+a",. conforme vimos na expressão (IV). Assim:

a² - (2+a)² = - 8 ------ desenvolvendo, teremos:
a² - (4+4a+a²) = - 8 ---- retirando-se os parênteses, teremos:
a² - 4 - 4a - a² = - 8 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
-4 - 4a = - 8 --- ou, passando "-4" para o 2º membro:
- 4a = - 8 + 4
- 4a = - 4 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", temos:
4a = 4
a = 4/4
a = 1 <---Este é o valor de termo "a".

Para encontrar o valor de "b", vamos na expressão (IV), que é esta:

b = 2 + a --- substituindo-se "a" por "1", teremos:
b = 2 + 1
b = 3 <--- Este é o valor de "b".

iv) Como já sabemos que a = 1 e que b = 3, então vamos em P(x) e vamos substituir "a' por "1" e "b" por "3". Vamos apenas repetir a representação de P(x), que é esta:

P(x) = x³ - 3x² - ax + b ---- fazendo as substituições previstas acima, temos:
P(x) = x³ - 3x² - x + 3

Como já sabemos que uma das raízes de P(x) = 1 (conforme vimos antes), então P(x) será divisível por "x-1". Depois disto, encontraremos as raízes do quociente que resultar dessa divisão e, assim, teremos as demais raízes de P(x). Vamos fazer essa divisão:

x³ - 3x² - x + 3 |_x-1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . x² - 2x - 3
-x³+x²
-------------------
0 -2x² - x + 3
. +2x²-2x
------------------------
......0 -3x + 3
........+3x - 3
------------------------
...........0.....0 <--- Resto. Veja que teria que zero mesmo, pois P(x) é divisível por (x-1).

Note que ficamos com o quociente x² - 2x - 3, que vamos igualá-lo a zero, para encontrar as demais raízes de P(x). Assim:

x² - 2x - 3 = 0 --- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes;

x' = -1
x''  = 3

v) Assim, todas as raízes de P(x) serão (contando com a raiz já vista, que é x = 1), colocando-as em ordem crescente:

x' = - 1
x'' = 1
x''' = 3

vi) Agora que já sabemos quais são as  três raízes de P(x), vamos responder (comentando) cada opção dada, informando se a afirmação contida em cada uma é correta ou incorreta. Vamos ver:

a) Podem formar uma progressão aritmética.
Resposta: afirmação CORRETA, pois a sequência (-1; 1; 3) forma uma PA de razão igual a "2". Por isso esta afirmação é CORRETA.

b) São todas números naturais.
Resposta: afirmação INCORRETA, pois "-1" não é natural. Logo, esta é uma afirmação INCORRETA.

c) Duas são os números a e b.
Resposta: afirmação CORRETA, pois veja que a = 1 e b = 3. E as três raízes de P(x) são: x' = -1. x'' = ' e x''' = 3. Por isso esta afirmação é CORRETA. 

d) Duas são números simétricos.
Resposta: afirmação CORRETA, pois "-1" e "1" são números simétricos. Por isso esta afirmação é CORRETA.

vii) Assim, como você poderá notar, a única afirmação INCORRETA é a afirmação da opção "b", que diz:

b) São todas números naturais <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a única afirmação INCORRETA, que é o que a questão pede que marquemos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.