Question

Questão 2 Uma esfera é um sólido definido por um conjunto de todos os pontos (x,y,z), de centro C=(x_c, y_c, z_c) e raio r, onde d[(x_c, y_c, z_c),(x,y,z)]=r Equação padrão de uma esfera é dada por: (x-x_c)²+(y-y_c)²+(z-z_c)²=r² No projeto desenvolvido pelo engenheiro Nonato, existe uma esfera de equação: x²+y²+z²-4x-2y-6z-35=0 Com o objetivo de determinar a quantidade de materiais necessários para a produção de esfera, apresente: a) as coordenadas do centro dessa esfera e a medida do seu raio. b) o volume dessa esfera, sendo V=4/3πr³ a fórmula para esse cálculo. trabalhe com π=3, r o raio da esfera em cm como unidade de medida.

Answer 1

Resposta:

Pra descobrir as informações ali, precisa primeiro transformar a equação que você possuí na equação característica da esfera.

x2+y2+z2−4x−2y−6z−35=0x2+y2+z2−4x−2y−6z−35=0

Pra isso, vou separar cada variável:

x2−4x+y2−2y+z2−6z=35x2−4x+y2−2y+z2−6z=35

Agora, vamos completar quadrado pra cada uma das variáveis separadamente:

x2−4xx2−4x

x2−2⋅2⋅xx2−2⋅2⋅x

Como (a−b)2=a2−2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2 , por comparação, devemos ter a=x, b=2a=x, b=2 . Então, adicionaremos e subtrairemos b2=22=4b2=22=4 :

x2−2⋅2⋅x+4−4x2−2⋅2⋅x+4−4

(x−2)2−4(x−2)2−4

Analogamente para y,zy,z :

y2−2yy2−2y

y2−2⋅1⋅yy2−2⋅1⋅y

y2−2⋅1⋅y+1−1y2−2⋅1⋅y+1−1

(y−1)2−1(y−1)2−1

z2−6yz2−6y

z2−2⋅3⋅zz2−2⋅3⋅z

z2−2⋅3⋅z+9−9z2−2⋅3⋅z+9−9

(z−3)2−9(z−3)2−9

Substituindo esses resultados na equação original:

x2−4x+y2−2y+z2−6z=35x2−4x+y2−2y+z2−6z=35

(x−2)2−4+(y−1)2−1+(z−3)2−9=35(x−2)2−4+(y−1)2−1+(z−3)2−9=35

(x−2)2+(y−1)2+(z−3)2=35+4+1+9(x−2)2+(y−1)2+(z−3)2=35+4+1+9

(x−2)2+(y−1)2+(z−3)2=49(x−2)2+(y−1)2+(z−3)2=49

Comparando com a equação característica da esfera (x−xc)+(y−yc)2+(z−zc)2=r2(x−xc)+(y−yc)2+(z−zc)2=r2 , temos:

xc=2yc=1zc=3r2=49→r=7xc=2yc=1zc=3r2=49→r=7

b)

Dado que o raio é 7, basta substituir e calcular:

V=43π⋅73V=43π⋅73

V=43⋅3⋅343V=43⋅3⋅343

V=1372V=1372

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{C(2,~1,~3)~|~R=7~|~V=1372~cm^3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar alguns conceitos para encontrarmos a equação reduzida da esfera e seu raio.

A equação reduzida é dada por $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=R^2$

Seja a equação da esfera $x^2+y^2+z^2-4x-2y-6z-35=0$

Utilizaremos o método de completar quadrados.  Preste atenção nos coeficientes dos termos de grau 1: $-4x,~-2y$ e $-6z$

A partir da expansão da equação reduzida, sabemos que os coeficientes serão $\pm~2x\cdot x_c,~\pm~2y\cdot y_c$ e $\pm~2z\cdot z_c$, porém devemos ter também os valores de ${x_c}^2$, ${y_c}^2$ e ${z_c}^2$.

Logo, para sabermos quais números adicionar, devemos dividir estes coeficientes discutidos por 2 e então elevarmos ao quadrado e somamos em ambos os lados da equação. Desta forma:

$x^2+y^2+z^2-4x-2y-6z-35+\bold{4+1+9}=\bold{4+1+9}$

Reorganize os termos

$x^2-4x+4+y^2-2x+1+z^2-6y+9-35=4+1+9$

Fatore os trinômios quadrados perfeitos e some os termos semelhantes

$(x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2-35=14$

Some 35 em ambos os lados da equação

$(x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=49$

Comparando esta equação com a forma reduzida, descobrimos então as coordenadas do centro e a medida do raio. Elas são:

Coordenadas do centro $(x_c,~y_c,~z_c)=(2,~1,~3)$ e medida do raio $R=7$.

Para encontrarmos o volume desta esfera, utilizaremos a fórmula $V=\dfrac{4\pi\cdot R^3}{3}$

Substitua a medida do raio em centímetros, utilizando a aproximação $\pi=3$

$V=\dfrac{4\cdot3\cdot7^3}{3}$

Calcule a potência e simplifique a fração

$V=4\cdot343$

Multiplique os valores

$V=1372~{cm}^3$

Estas são as respostas para as alternativas.