Question

Questão 2. [LIMITES – Desafio Nível – Pleno]

Calcule o seguinte limite (de preferência) sem usar L'HOSPITAL:

$\underset{n \to \infty}{\lim} \dfrac{ \sqrt[3]{ \left( 1 + \dfrac{1}{ \sqrt[5]{2} } + \dfrac{1}{\sqrt[5]{3} } + \dots \dfrac{1}{\sqrt[5]{n}}\right)^{2} } }{\sqrt[5]{ \left( 1 + \dfrac{1}{ \sqrt[3]{2} } + \dfrac{1}{\sqrt[3]{3} } + \dots \dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}\right)^{4} }}$

BrainlyInquirer@Wednesday
08/04/2020​

Answer 1

Recordamos a seguinte desigualdade. Se f é uma função contínua não crescente no intervalo [1,n+1] vale o seguinte

$\displaystyle f(1) + f(2) + \cdots + f(n) \geq \int_1^{n+1} f(x) \, dx \\[3ex]f(1) + f(2) + \cdots + f(n) \leq f(1) + \int_1^n f(x) \, dx$

Aplicando isso para a função $\mathsf{f(x) = x^{ -1/5}}$ temos:

$\displaystyle \int_1^{n+1} x^{-1/5} \, dx \leq 1 + \dfrac 1{ \sqrt[5]2} + \cdots + \dfrac 1{\sqrt[5]n} \leq 1 + \int_1^{n} x^{-1/5} \, dx$

Denotando Fₙ = f(1) + f(2) + ... + f(n) segue que:

( I ) $\dfrac 54(n+1)^{4/5} - \dfrac 54 \leq F_n \leq \dfrac 54 n^{4/5} - \dfrac 14$

Aplicando para $\mathsf{f(x) = x^{ -1/3}}$ e sendo Gₙ = g(1) + g(2) + ... + g(n)  temos:

$\displaystyle \int_1^{n+1} x^{-1/3} \, dx \leq 1 + \dfrac 1{ \sqrt[3]2} + \cdots + \dfrac 1{\sqrt[3]n} \leq 1 + \int_1^{n} x^{-1/3} \, dx$

( II ) $\dfrac 32(n+1)^{2/3} - \dfrac 32 \leq G_n \leq \dfrac 32 n^{2/3} - \dfrac 12$

Agora voltamos ao problema. Queremos calcular o limite:

$L = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \, \dfrac{ \sqrt[3]{ \left( 1+ \dfrac 1{\sqrt[5] 2}+ \cdots \dfrac 1{\sqrt[5] n} \right)^2 } }{\sqrt[5]{ \left( 1+ \dfrac 1{\sqrt[3] 2}+ \cdots \dfrac 1{\sqrt[3] n} \right)^4 }} = \lim_{n \to \infty} \, \dfrac{\sqrt[3]{ F_n^2}}{\sqrt[5]{G_n^4}} = \lim_{n \to \infty} \, \left(\dfrac{F_n^5}{G_n^6}\right)^{2/15}$

Assim, basta analisar oque acontece com Fₙ⁵ / Gₙ⁶. Usando as desigualdades ( I ) e ( II ) temos

$\underbrace{\dfrac{\left( \dfrac 54(n+1)^{4/5} - \dfrac 54 \right)^5}{\left( \dfrac 32n^{2/3} - \dfrac 12 \right)^6} }_{\displaystyle A_n}\leq \dfrac{F_n^5}{G_n^6} \leq \underbrace{\dfrac{\left( \dfrac 54n^{4/5} - \dfrac 14 \right)^5}{\left( \dfrac 32(n+1)^{2/3} - \dfrac 32 \right)^6}}_{\displaystyle B_n}$

Note que Aₙ e Bₙ tendem a  (5/4)⁵(2/3)⁴ = 5⁵ / (2⁶3⁴). Daí pelo teorema do sanduíche concluímos que

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \, \dfrac{F_n^5}{G_n^6} = \dfrac{5^5}{2^4\cdot3^6}$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \, \dfrac{F_n^5}{G_n^6} = \dfrac{5^5}{2^4\cdot3^6}\implies \boxed{L = \sqrt[15]{\dfrac{5^{10}}{2^8\cdot3^{12}}}}$

Resposta:

O limite procurado é $\sqrt[15]{\dfrac{5^{10}}{2^8\cdot3^{12}}}$

Answer 2

Resposta:

$\boxed{L = \dfrac{ \sqrt[3]{\left(\dfrac{5}{4} \right)^{2}} }{ \sqrt[5]{\left(\dfrac{3}{2} \right)^{4}} }}$

Explicação passo-a-passo:

$L = \underset{n \to \infty}{\lim} \dfrac{ \sqrt[3]{ \left( 1 + \dfrac{1}{ \sqrt[5]{2} } + \dfrac{1}{\sqrt[5]{3} } + \dots + \dfrac{1}{\sqrt[5]{n}}\right)^{2} } }{\sqrt[5]{ \left( 1 + \dfrac{1}{ \sqrt[3]{2} } + \dfrac{1}{\sqrt[3]{3} } + \dots + \dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}\right)^{4} }}$

Inicialmente, o limite aparenta ser bastante complexo, consegui escapar da indeterminação aplicando o Teorema de Stolz Cesàro, portanto $\forall k > -1$

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{1^k + 2^k + \dots + n^k}{n^{k + 1} } \right) = \underbrace{\green{\frac{1}{k + 1}}}_{ \displaystyle\int_{0}^{1} {x}^{k}dx }$

Podemos também reescrever como um somatório, assim,

$\boxed{ \green{\dfrac{1}{k + 1}} = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left[ \dfrac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \left(\dfrac{i}{n}\right)^k \right]}$

Portanto, quando $k = - \dfrac{1}{5}$ teremos uma das séries no radicando (concretamente no numerador), matematicamente,

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{1 + \dfrac{1}{ \sqrt[5]{2} } + \dfrac{1}{\sqrt[5]{3} } + \dots \dfrac{1}{\sqrt[5]{n}}}{n^{\frac{4}{5}}} \right) = \frac{1}{1 - \dfrac{1}{5} } = \boxed{\frac{5}{4}}$

Da mesma forma que quando $k = -\dfrac{1}{3}$ teremos uma série identifica ao denominador (no radicando), portanto,

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left( \dfrac{1 + \dfrac{1}{ \sqrt[3]{2} } + \dfrac{1}{\sqrt[3]{3} } + \dots \dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}}{ n^ \frac{2}{3} } \right) = \boxed{\frac{3}{2}}$

Com isso teremos o seguinte,

$\displaystyle\lim_{n \to \infty } \dfrac{ \left(\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt[5]{i}} \right)^{ \frac{2}{3} } }{\left(\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt[3]{i}} \right)^{ \frac{4}{5} } } = \displaystyle\lim_{n \to \infty } \dfrac{\left[ \left(\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt[5]{i}} \right)/n^{\frac{4}{5}} \right]^{\frac{2}{3}}}{\left[ \left(\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt[3]{i}} \right) /n^{\frac{2}{3} }\right]^{\frac{4}{5}}}$

Portanto, teremos como resultado final,

$\\ \Longrightarrow \boxed{L = \dfrac{ \left(\dfrac{5}{4} \right)^{\frac{2}{3}}}{ \left(\dfrac{3}{2} \right)^{\frac{4}{5}}}}$

Espero ter colaborado!)