Question

Questão 17, explicar detalhadamente.

Answer 1

Se w²=z, Então:
w1
(√2+i√2)²=z
(√2)²+2√2.√2.i+(i√2)²=z
2+4i+i².2=z
2+4i+(-1).2=z
4i=z

w2
(-√2-i√2)²=z
-(√2+i√2)=z
-[(√2)²-2√2.√2.i+(i√2)²]=z
-[2-4i+i².2]=z
-[2-4i+(-1).2]=z
-[-4i]=z
4i=z

Foi demonstrado que w1 e w2 são raízes de z=4i
Podemos tirar a raiz dele e chegar nos mesmos resultados:
√z=a+bi
√4i = a+bi
(√4i )²= (a+bi)²
4i=a²+2abi+b²i²
4i=a²-b²+2abi

juntando os termos reais e imaginários montamos um sistema:

0 =a²-b²
4=2ab

Isolando b da equação II
2ab = 4
b=4/2a
b=2/a

Substituindo b na equação I:
a²-b²=0
a²-(2/a)²=0
a²-4/a²=0    (multiplica todos os termos por a² )
a².a² - 4 = 0
(a²)²=4          (substituindo a² = k)
k²=4
k=√4
k=+2   ou k=-2   (voltando k=a²)

a²=2   ou  a²=-2
a=+-√2   ou  a=√-2

Como a∈R , então usamos apenas a=+-√2
Substituindo a na equação II para encontrar o termo imaginário:
2ab=4                                          2ab=4
2.√2.b=4                                      2.-√2b=4
b=4/2√2                                       b=4/2-√2
b=2√2    (Racionalizando)            b=2/-√2
b=√2                                             b=-√2

Então :

√4i   =    a+bi
√4i   =  √2 +i√2     ou   -√2-i√2

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Letra B:
√2i                        

Se √z = a+bi , Então 

√2i = a+bi
2i = (a+bi)²
2i=a²+2abi+b²i²
2i=a²-b²+2abi

Juntando real com real e imaginário com imaginário:

0 = a²-b²
2=2ab

Isolando b da equação II 
2ab =2
b=2/2a
b=1/a

Substituindo b na equação I
a²-b²=0
a²-(1/a)²=0
a²-1/a² = 0    ( mulitplique todos por a²)
(a²)² -1 = 0
(a²)² = 1        (substituindo a² = k )

k² = 1
k=+-√1
k=+1   ou k= -1        (retornando a²=k)
a² = 1   ou  a²=-1
a=+-√1  
a=+1  ou -1   

Substindo a na equação II para encontrar o imaginário:
2ab=2                    2ab=2                                               
2.1b=2                   2.(-1)b=2
b=2/2                     -2b=2            (-1)
b=1                         b=-1

Então as raízes de z=2i são:

w1 = 1 + i      e  w2 = -1 -i