Question

Questão 15
No plano, com o sistema de coordenadas cartesiano usual,
a área do quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos
de interseção das elipses representadas pelas equações
x2 + 2y2 = 2 e 2x2 + y2 = 2 é:
​

Answer 1

A área do quadrilátero é 24/9 u.a.

Note das equações das elipses que elas são iguais, mas seus eixos estão invertidos, ou seja, na primeira elipse, seu eixo maior está no eixo x e a segunda elipse tem seu eixo maior no eixo y, então, como suas excentricidades são iguais, os pontos de interseção terão as coordenadas (x, x), (x, -x), (-x, x) e (-x, -x).

Para encontrar o valor de x, basta igualar x e y e em seguida somar as equações:

x² + 2x² = 2

2x² + x² = 2

6x² = 4

x² = 4/6

x =√(2/3)

x = √6/3

Logo, os pontos de interseção são:

(√6/3, √6/3), (-√6/3, √6/3), (√6/3, -√6/3) e (-√6/3, -√6/3)

O quadrilátero formado por estes vértices tem lado igual a 2.√6/3 u.c, logo, sua área é:

A = (2√6/3)²

A = 4.6/9

A = 24/9 u.a