Question

Questão 15
(Mack-SP)
As progressões aritméticas (5, 8, 11, ...) e (3, 7, 11, ...)
tem 100 termos cada uma. O número de termos iguais
nas duas progressões é:
a) 15
b) 25
c) 1
d) 38
e)42​

Answer 1

A primeira progressão $a_n$ satisfaz

$a_n=5+3(n-1)=2+3n$,

A segunda, $b_n$, satisfaz

$b_n=3+4(n-1)=4n-1$.

Assim, sejam $1\leq m, n\leq 100$ tais que

$a_m=b_n$.

Obtemos

$2+3m = 4n-1 \implies 4n-3m=3,$

de modo que 3 divide n. Assim,

$n=3k, 1\leq k\leq 33$, e, então

$4k-m=1$.

Essa  equações tem soluções triviais nos inteiros, para cada k, basta tomar m=4k-1.

Como m<101, então 4k-1<101, de forma que $k\leq 25$. Estando dentro do conjunto de possibilidades pra k, temos, então, 25 soluções.