Question

Questão 14
Uma indústria que produz um tipo de lâmpada tem
lucro mensal, em reais, dado por L(x)=-x² +Dx+E em
que x é a quantidade vendida desse tipo de lâmpada
em milhares de unidades. Sabendo que a indústria
tem lucro apenas quando vende entre 4 mil e 10 mil
unidades, e prejuízo na venda de outras quantidades,
qual é o lucro máximo mensal?
L(x) = -x² + 2x + E
Yr: Lucro máx
A) 5.000,00
B) 6.500,00
C) 7.000,00
D) 9.000,00

Answer 1

Resposta:

D) 9.000,00

Explicação:

O lucro mensal da indústria, em função da quantidade de lâmpadas vendidas, é dado por:

$L(x) = -x^2 +Dx + E,$

onde $D, E \in \, \mathbb{R}.$

Sabemos que a indústria aufere lucro quando vende entre 4 mil e 10 mil unidades.

Temos:

$-(x - 4)(x - 10) = 0\\\\\Longleftrightarrow -(x^2 - 10x - 4x +40) = 0\\\\\Longleftrightarrow -x^2+14x - 40 = 0.$

Assim,

$D = 14\,\,\,e\,\,\,E = -40.$

A função lucro fica:

$L(x) = -x^2 +14x -40$

O lucro é máximo quando $dL/dx = 0.$

Temos:

$dL/dx = -2x + 14 = 0\\\\\Longleftrightarrow -2x = -14\\\\\Longleftrightarrow x = 7$

Logo, o lucro é máximo quando a indústria vende 7 mil unidades. Calculemos o lucro:

$L_{max} = -7^2+14\cdot 7 -40\\\\\Longletrightarrow L_{max} = 9$

Assim, o lucro máximo mensal auferido é de R$ 9.000,00.