Question

Questão 14 - Quantos números inteiros existem de 100 a 1000, que não são divisiveis nem por 3 nem por 5? *
(A) 347
(B) 515.
(C) 621.
(D) 742
(E) 814​

Answer 1

Todos os números divisíveis por 3 entre 100 e 1.000 variam de 102 a 999:

a₁ = 102

aₓ = 999

aₓ = a₁ + (n - 1)r

999 = 102 + (n - 1)3

999 = 102 + 3n - 3

999 = 3n + 99

3n = 900

n = 300

Existem 300 números divisíveis por 3 entre 100 e 1.000

Todos os números entre 100 e 1.000 divisíveis por 5:

a₁ = 100

aₓ = 1.000

aₓ = a₁ + (n - 1)r

1.000 = 100 + (n - 1)5

1.000 = 100 + 5n - 5

1.000 = 5n + 95

5n = 905

n = 181

Existem 181 números entre 100 e 1.000 divisíveis por 5

Agora, alguns dos números divisíveis por 3 são divisíveis por 5 também. Eu fiz a conta de cada um separadamente, então alguns números são divisíveis por ambos, sendo contados então 2 vezes se eu simplesmente somar 300 + 181.

Portanto, preciso agora descobrir todos os números que são divisíveis por ambos 3 e 5 e subtrair isso da soma 300 + 181

O primeiro número divisível por ambos é 105, a partir daí, a cada aumento de 15 teremos um novo número divisível por ambos 3 e 5 novamente, sendo 990 o último antes de 1.000:

a₁ = 105

aₓ = 990

r = 15

aₓ = a₁ + (n - 1)r

990 = 105 + (n - 1)15

990 = 105 + 15n - 15

990 = 15n + 90

15n = 900

n = 60

Existem 60 números que são divisíveis por ambos 3 e 5 entre 100 e 1.000. Para não contar esses números duas vezes, precisamos subtrair da soma dos divisíveis apenas por 3 e os divisíveis apenas por 5:

300 + 181 - 60 = 421

421 números entre 100 e 1.000 são divisíveis por 3, por 5 ou ambos

A pergunta quer saber quantos NÃO são, logo sabemos que existem 901 números de 100 a 1.000 (seria 900 se não incluísse o 100, então são 901 incluindo ele) é só subtrair esse número pelo 421:

901 - 421 = 480

480 números de 100 até 1.000 não são divisíveis nem por 3 ou 5

Não vejo essa alternativa nas que apresentou, mas verifiquei meu processo algumas vezes e não percebi nenhum erro nas contas que fiz ou no meu processo matemático para chegar nessa conclusão. Talvez as alternativas estejam erradas ou eu não interpretei bem o exercício.

De qualquer forma, espero ter ajudado