Question

Questão 14)
O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x − 2) é 7 e o resto da divisão de P(x) por (x + 2) é −1.
Desse modo, o resto da divisão de P(x) por (x − 2)(x + 2) é

a) 6
b) 8
c) 7x − 1
d) 2x + 3
e) 3x + 2

Answer 1

Para compreender bem a resolução você precisa saber bem o Teorema do Resto.
Por ele temos que P(2)=7   e P(-2)=-1

Se você divide P(x) por (x-2)(x+2) obterá um resto do tipo R(x) = ax + b pois sendo o divisor um polinômio do segundo grau, o resto é, no máximo, um polinômio de primeiro grau (do tipo ax + b)

Quando dividimos P(x) por (x-2)(x+2) obtemos um quociente Q(x) e um resto R(x) do tipo ax + b

Então podemos escrever que:

P(x) = Q(x)(x-2)(x+2) + R(x) ou
P(x) = Q(x)(x-2)(x+2) + ax + b

(pense nos polinômios como se fossem números, que quando dividimos um pelo outro, o dividendo é igual ao quociente multiplicado pelo divisor somado com o resto)

Agora calculando P(2)    (já sabemos que P(2) = 7

P(2) = Q(x).(2-2)(2+2) + 2a + b = 7
Observe que Q(x)((2-2)(2+2) = 0, logo  2a + b = 7

De modo idêntico:

P(-2) = Q(x).(-2-2)(-2+2)  - 2a + b = -1
Observe que Q(x)((-2-2)(-2+2) = 0, logo  -2a + b = -1

Resolvendo o sistema:

$\left \{ {{2a+b=7} \atop {-2a+b=-1}} \right.$ facilmente chegamos as seguintes soluções;

a = 2 e b = 3

e o Resto procurado é R = 2.2 + 3 = 7

(Lamentavelmente não existe esta alternativa)

Answer 2

Resposta:

Letra D

Explicação passo-a-passo:

A explicação do outro comentário seria impecável se não fosse por um detalhe. No final, ele supôs que o X seria igual a dois oq resultou em 2(a) * 2(x) + 3(b). Porém a questão pede o resto da divisão de P(x), e não P(2). Por isso a resposta é a letra D. Deixo aqui meus parabéns ao autor da resposta, pois estava em dúvida em uma questão quase idêntica e não soube por onde começar, mas com o raciocínio desenvolvido durante a resolução dele consegui entender