Question

Questão 12: Surfistas de vários países deslizam em ondas tubulares, num verdadeiro, espetáculo de manobras e criatividade, durante um campeonato no Havaí. Calcule a altura (em metros) de uma determinada onda que é representada pela equação abaixo:

a) 7 m
b) 6 m
c) 5 m
d) 4 m

$\sqrt{ \times + 2} = \times - 4$
​

Answer 1

✅ A altura da onda é $\rm 7\,m$.

 

☁️ Trata-se de uma equação irracional. Abordamos ela da mesma forma que qualquer outra equação. Devemos utilizar as operações matemáticas de modo que a igualdade continue se verificando.

 

✍️ Bora lá então!

$\large\begin{array}{lr}\rm \sqrt{x+2} = x-4\\\\\rm \left[\sqrt{x+2}\right]^2 = \left[x-4 \right]^2 \\\\\rm x+2 = x^2-8x+16 \\\\\rm x^2 - 9x +14 = 0 \\\\\rm S = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-[-9]}{1} = 9\\\\\rm P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{14}{1} = 14 \\\\\rm S = x_1 + x_2 \Leftrightarrow 7+2 = 9 \\\\\rm P = x_1 \cdot x_2 \Leftrightarrow 7\cdot 2 = 14 \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:x_1 = 2 \: \land\: x_2 = 7}}}}\end{array}$

 

❏ Testando as possíveis raízes na equação original:

$\large\begin{array}{lr}\rm \bullet ~~ \forall \; x = 2 \\\\\rm \sqrt{x+2} \neq 2-4 \Rightarrow \sqrt{2+2} = x-4 \\\\\rm \bullet~~ \forall x = 7 \\\\\rm \sqrt{x+2} = x-4 \Rightarrow \sqrt{7+2} = 7-4 \Rightarrow 3=3\\\\\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:}}}\end{array}$

 

❏ Note que somente $\rm x = 7$ satisfaz a equação irracional, portanto é a raiz.

$\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:\mathbb{S} = \{x = 7\} }}}}\end{array}$

 

✔️ A altura da onda, portanto, é $\rm 7 \,m$

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre raízes de equações, equação irracional:

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a altura da referida onda é:

               $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf 7\:m\:\:\:}} \end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:A\:\:\:}} \end{gathered} }$

Uma equação é irracional quando apresenta a incógnita dentro do radical.

Resolvendo a seguinte equação irracional, temos:

1ª          $\large\displaystyle\begin{gathered}\sqrt{x + 2} = x - 4 \end{gathered}$

       $\large\displaystyle\begin{gathered}(\sqrt{x + 2})^{2} = (x - 4)^{2} \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}x + 2 = x^{2} - 4x - 4x + 16 \end{gathered}$

     $\large\displaystyle\begin{gathered}-x^{2} + x + 4x + 4x + 2 - 16 = 0 \end{gathered}$

             $\large\displaystyle\begin{gathered}-x^{2} + 9 x - 14 = 0 \end{gathered}$

Chegamos a uma equação do segundo grau, cujos coeficientes são:

                    $\large\begin{cases}a = -1\\b = 9\\c = -14 \end{cases}$

Calculando o valor do delta, temos:

               $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}= 9^{2} - 4\cdot(-1)\cdot(-14) \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}= 81 - 56 \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}= 25 \end{gathered}$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

               $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a} \end{gathered} }$

                   $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-9\pm\sqrt{25}}{2\cdot(-1)} \end{gathered} }$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{-9\pm5}{-2} \end{gathered}$

Obtendo-se as raízes, temos:

      $\Large\begin{cases}x' = \frac{-9 + 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2 \\x'' = \frac{-9 - 5}{-2} = \frac{-14}{-2} = 7 \end{cases}$

Agora devemos testar os valores de "x" na primeira equação:

• x = 2

               $\large\displaystyle\begin{gathered}\sqrt{2 + 2} \neq 2 - 2 \end{gathered}$

                      $\large\displaystyle\begin{gathered}\sqrt{4 }\neq 0 \end{gathered}$

• x = 7

               $\large\displaystyle\begin{gathered}\sqrt{7 + 2} = 7 - 4 \end{gathered}$

                      $\large\displaystyle\begin{gathered}\sqrt{9} = 3 \end{gathered}$

                         $\large\displaystyle\begin{gathered}3 = 3 \end{gathered}$

Portanto, o valor de "x" que satisfaz a equação irracional é:

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}x = 7 \end{gathered}$

✅ Portanto, a altura da onda é:

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}7\:m \end{gathered}$

Saiba mais:

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