Question

Questão 12 Na primeira semana de seu novo treino, uma atleta correu uma distância diferente em cada um dos 7 dias da semana de forma que as distâncias percorridas, a partir de domingo, formassem uma progressão geométrica decrescente Na segunda semana, a atleta pretende correr o dobro da distância total da semana antenor, mas mantendo as distâncias diárias em progressão geométrica de mesma razão. Dessa forma, em relação ao primeiro domingo, a distância a ser percomida no segundo domingo deve ser​

Answer 1

Utilizando a fórmula de soma de n termos de uma progressão geométrica, chegamos à conclusão que para que a atleta corra na segunda semana o dobro da semana anterior respeitando a mesma razão de progressão geométrica, no segundo domingo ela precisa correr o dobro do primeiro domingo.

Modelando o problema

De acordo com o problema, o primeiro domingo foi o primeiro dia da primeira semana que inicia a progressão geométrica, logo consideraremos ele como o primeiro elemento da progressão da primeira semana, chamaremos de $a_{1}$. Já na segunda semana, onde a mesma coisa acontece, chamaremos o valor de domingo de $b_{1}$, primeiro elemento da segunda progressão. A razão da progressão geométrica é a mesma nas duas semanas, chamaremos ela de $q$.

De acordo com o problema, a atleta deseja correr no total da segunda semana, o dobro do total da primeira. Bom, para sabermos o total que ela percorreu nos 7 dias em cada semana, basta realizarmos a soma dos 7 primeiros termos das progressões de cada semana. A fórmula da soma de n números de uma progressão geométrica é dada por:

$S_{n} = \frac{a_{1} * (q^{n} - 1)}{q-1}$, onde:

• $a_{1} = >$ Primeiro termo da progressão
• $n = >$ Número de termos
• $q = >$ Razão da progressão

Com isso, se representarmos a primeira semana como SA, onde os termos são $a_{n}$, e a segunda semana como SB, onde os termos são $b_{n}$, podemos definir o total corrido pela atleta nas semanas com n = 7, nas seguintes fórmulas:

$SA_{7} = \frac{a_{1} * (q^{n}-1)}{q-1}$ , para o total da primeira semana.

$SB_{7} = \frac{b_{1} * (q^{n}-1)}{q-1}$ , para o total da segunda semana.

Como precisamos que o total da segunda semana seja o dobro da primeira, temos que $SB = 2*SA$, logo:

$\frac{b_{1} * (q^{n}-1)}{q-1} = 2 * \frac{a_{1} * (q^{n}-1)}{q-1}$  ∵  $\frac{a_{1} * (q^{n}-1)}{q-1} = \frac{2a_{1} * (q^{n}-1)}{q-1}$

$b_{1} * \frac{(q^{n}-1)}{q-1} = 2a_{1} * \frac{(q^{n}-1)}{q-1}$  ∵  $b_{1} = 2a_{1}$

Sendo $b_{1}$ o valor corrido no segundo domingo, e $a_{1}$ o valor corrido no primeiro domingo, então para que a atleta corra o dobro na segunda semana, precisa correr no segundo domingo o dobro do que correu no primeiro.

Saiba mais sobre progressão geométrica em:

https://brainly.com.br/tarefa/51266539

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