Question

questão 11)

Um lago é formado por dois círculos tangentes externas de Raios 14m e 2m uma ponte de madeira que liga o ponto A ao ponto B passa pelo centro do Lago menor e o trecho AP é igual a 4m
Sendo assim podemos afirmar que o comprimento da ponte é:

alguém ajuda por favor, preciso de resolução completa valendo 50pts:.

Answer 1

$Boa \ tarde, \ \bold{Jhonyudsonbr}.$

$Vamos \ considerar \ o \ \Delta OO'P \ \Rightarrow \\ \\ Lei \ do \ Cosseno \ para \ o \ \^angulo \ O\widehat{O'}P \ \longrightarrow$

$OP^2 \ = \ OO'^2 \ + \ O'P^2 \ - \ 2 \ \cdot \ OO' \ \cdot \ O'P \ \cdot \ cos(O\widehat{O'}P) \ \rightarrow \\ \\ OP \ \rightarrow \ Raio \ de \ 14 \ m; \\ OO' \ \rightarrow \ Soma \ dos \ raios \ : \ (14 + 2) \ = \ 16 \ m; \\ \\ 14^2 \ = \ 16^2 \ + \ O'P^2 \ - \ 2 \ \cdot \ 16 \ \cdot \ O'P \ \cdot \ cos(O\widehat{O'}P) \ \rightarrow \\ \\ 32 \ \cdot \ O'P \cdot \ cos(O\widehat{O'}P) \ = \ 256 \ - \ 196 \ + \ OP'^2 \rightarrow$

$\boxed{cos(O\widehat{O'}P) \ = \ \frac{60 \ + \ OP'^2}{32 \ \cdot \ O'P}}$

$Agora, \ trace \ o \ \Delta OO'A \ \Rightarrow \\ \\ \rightarrow \ O'A \ = \ (AP \ + \ O'P) \ = \ \boxed{(4 \ + \ O'P)} \ ; \\ \\ \rightarrow \ OO' \ = \ 16 \ m; \\ \\ \rightarrow \ OA \ = \ Raio \ de \ 14 \ m.$

$Antes, \ observe \ que \ o \ \^angulo \ O\widehat{O'}P \ = \ O\widehat{O'}A. \\ \\ Por \ isso, \ cos(O\widehat{O'}P) \ = \ \ cos(O\widehat{O'}A) \ = \ \frac{60 \ + \ OP'^2}{32 \ \cdot \ O'P}$

$Ok, \ agora \ Lei \ do \ Cosseno \ para \ o \ \^angulo \ O\widehat{O'}A \ \longrightarrow \\ \\ OA^2 \ = \ OO'^2 \ + \ O'A^2 \ - \ 2 \ \cdot \ OO' \ \cdot \ O'A \ \cdot \ cos(O\widehat{O'}A) \ \rightarrow \\ \\ 14^2 \ = \ 16^2 \ + \ (4 \ + \ O'P)^2 \ - \ \not{2} \ \cdot \ \not{16} \ \cdot \ (4 \ + \ O'P) \ \cdot \ \Big(\frac{60 \ + \ OP'^2}{\not{32} \ \cdot \ O'P}\Big) \ \\ \\ 196 \ = \ 256 \ + \ (4 \ + \ O'P)^2 \ - \ \frac{(4 \ + \ O'P) \ \cdot \ (60 \ + \ OP'^2)}{O'P} \ \rightarrow$

$\frac{(4 \ + \ O'P) \ \cdot \ (60 \ + \ OP'^2)}{O'P} \ = \ 60 \ + \ (4 \ + \ O'P)^2 \ \rightarrow \\ \\ \frac{240 \ + \ 4 \ \cdot \ O'P^2 \ + \ 60 \ \cdot \ O'P \ + \ O'P^3}{O'P} \ = \ 60 \ + \ 16 \ + \ 8 \ \cdot \ O'P \ + \ \cdot \ O'P^2 \ \\ \\ 240 \ + \ 4 \ \cdot \ O'P^2 \ + \ 60 \ \cdot \ O'P \ + \ O'P^3 \ = \ \\ 60 \ \cdot \ O'P \ + \ 16 \ \cdot \ O'P \ + \ 8 \ \cdot \ O'P^2 \ + \ \cdot \ O'P^3 \ \rightarrow \\ \\ 'Cortando' :$

$240 \ + \ 4 \ \cdot \ O'P^2 \ = \ 16 \ \cdot \ O'P \ + \ 8 \ \cdot \ O'P^2 \ \rightarrow \\ \\ 60 \ + \ O'P^2 \ = \ 4 \ \cdot \ O'P \ + \ 2 \ \cdot \ O'P^2 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{O'P^2 \ + \ 4 \ \cdot \ O'P \ - \ 60\ = 0} \ \rightarrow \\ \\ Por \ \Delta \ e \ Bh\'askara, \ achamos : \\ \\ \rightarrow \ O'P \ = \ - \ 10 \ m \ \Rightarrow \ N\~ao \ serve! \ (medida, \ O'P \ \ \textgreater \ \ 0); \\ \\ \boxed{\boxed{\rightarrow \ O'P \ = \ 6 \ m}} \ \Rightarrow \ Serve!$

$Por \ fim, \ a \ ponte \ \'e : \\ \\ AB \ = \ AP \ + \ O'P \ + \ O'B \ \rightarrow \\ \\ AB \ = \ 4 \ + \ 6 \ + \ 2 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{AB \ = \ 12 \ m}} \ \longrightarrow \ Comprimento \ da \ ponte! \\ \\ \bold{(Alternativa \ '(A)').}$

Answer 2

Resposta:

Teorema das Secantes bro D: Mais fácil.

30*2 = (6 + x)*(2 + x)  =>  x = 4.

Logo, AB = 4 + 4 + 2 + 2 = 12 m.

Explicação passo-a-passo: