Question

Questão 10
Um automóvel vale hoje o valor de R$ 17.550,00 e sofre desvalorização de 13% ao
ano. Daqui a quanto tempo o seu valor se reduzirá à metade?
Considere: log 0,5 = -0,30103 e log 0,87 = -0,060481.​

Answer 1

A desvalorização de um item pode ser vista como uma aplicação que, ao invés de gerar lucros, gera prejuízos.

A cada novo ano, o automóvel terá novo valor igual a 87% (100%-13%) do valor no ano anterior.

Dessa forma, podemos montar a equação que dará seu valor em função do tempo (n) decorrido:

$Novo~Valor~=~Valor_{inicial}~.~\left(1~-~^{~~Taxa~de}_{desvalorizacao}\right)^n$

Note que a equação acima a própria equação do montante para o regime de juros compostos com uma taxa negativa.

Substituindo os valores dados no texto, temos:

$\frac{1}{2}~.~17550~=~17550~.~\left(1-\frac{13}{100}\right)^{n}\\\\\\\frac{17550}{2~.~17550}~=~(1-0,13)^n\\\\\\0,5~=~0,87^n\\\\\\Aplicando~log~nos~dois~lados~da~equacao\\\\\\log\,0,5~=~log\,0,87^n$

$log\,0,5~=~n\,.\,log\,0,87\\\\\\-0,30103~=~n~.~-0,060481\\\\\\n~=~\frac{-0,30103}{-0,060481}\\\\\\\boxed{n~\approx~4,98~anos}$

Resposta: Reduzirá à metade em aproximadamente 4,98 anos ou, ainda, em aproximadamente 5 anos (caso seja pedido um valor inteiro aproximado).