Question

Questão 10

Sabendo que as raízes da equação do 3º grau são -3, -1 e + 2, qual será a equação

Answer 1

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$\Large\green{\boxed{\rm~~~\red{10)}~\gray{f(x)}~\pink{=}~\blue{ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 }~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

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☺lá novamente, Gabriel. Vamos a mais um exercício❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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☔ Partindo da propriedade de que uma função polinomial pode ser escrita como um produto de polinômios de grau 1 em função das raízes

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d}&\\&&\\&\orange{\sf =}&\\&&\\& \orange{\sf a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_3)}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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encontramos para as raízes (f(x) = 0), através das Relações de Girard, as seguintes relações

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$\large\begin{cases}\orange{\text{ \sf~I)~x_1 + x_2 + x_3 = \pink{\boxed{\orange{\sf \dfrac{-b}{a}}}} }}\\\\\\ \orange{\text{ \sf~II)~x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \pink{\boxed{\orange{\sf \dfrac{c}{a}}}} }}\\\\\\\orange{\text{ \sf~III)~x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = \pink{\boxed{\orange{\sf \dfrac{-d}{a}}}} }} \end{cases}$

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➡ $\large\blue{\sf \dfrac{-b}{a} }$

$\large\blue{\sf = -3 + (-1) + 2 }$

$\large\blue{\sf = -2 }$

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➡ $\large\blue{\sf \dfrac{c}{a} }$

$\large\blue{\sf = -3 \times (-1) + (-3) \times (2) + (-1) \times (2) }$

$\large\blue{\sf = 3 - 6 - 2 }$

$\large\blue{\sf = -5 }$

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➡ $\large\blue{\sf \dfrac{-d}{a} }$

$\large\blue{\sf = -3 \times (-1) \times 2 }$

$\large\blue{\sf = 6 }$

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➡ $\large\blue{\sf a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d = 0 }$

➡ $\large\blue{\sf \dfrac{a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d}{a} = \dfrac{0}{a} }$

➡ $\large\blue{\sf x^3 + \dfrac{b \cdot x^2}{a} + \dfrac{c \cdot x}{a} + \dfrac{d}{a} = 0 }$

➡ $\large\blue{\sf x^3 + 2 \cdot x^2 - 5 \cdot x - 6 = 0 }$

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$\Large\green{\boxed{\rm~~~\gray{f(x)}~\pink{=}~\blue{ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$

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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação do terceiro grau procurada é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf eq: x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as raízes da equação:

                          $\Large\begin{cases} x' = -3\\x'' = -1\\x''' = 2\end{cases}$

Para montar uma equação do terceiro grau a partir das raízes devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')\cdot(x - x'')\cdot(x - x''') = 0\end{gathered}$

Substituindo as raízes na equação "I", resolvendo e simplificando os cálculos, temos:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - (-3))\cdot(x - (-1))\cdot(x - 2) = 0 \end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 3)\cdot(x + 1)\cdot(x - 2) = 0 \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[(x + 3)\cdot(x + 1)\right]\cdot(x - 2) = 0\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[x^{2} + 4x + 3\right]\cdot(x - 2) = 0\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação procurada é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} eq: x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6 = 0\end{gathered}$

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