Question

Questão 10... Quero verificar se coincide com o meu resultado. Alguém?

Answer 1

Vamos lá.

Bem, Epom, pelo que vimos no anexo, é pedido o valor da expressão abaixo (que vamos igualá-la a um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa):

y = p² + pq + q²  ------ tendo por base o seguinte sistema de equações:

{√[9^(p+1)] = 3^(√2)      . (I)
{log₂ (q-1) = 1/2            . (II)

Bem, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos trabalhar com a expressão (I), que é esta:

√[9^(p+1)] = 3^(√2) ----- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando assim:

{√[9^(p+1)]}² = [3^(√2)]² ----- desenvolvendo os quadrados, ficaremos com:
9^(p+1) =  3^(2√2) ----- veja que 9 = 3². Assim, ficaremos:
(3²)^(p+1) = 3^(2√2) ---- desenvolvendo o 1º membro, teremos:
3^(2p+2) = 3^(2√2) ---- como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Assim:

2p+2 = 2√(2) ---- para eliminar o radical, vamos, novamente,elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos:

(2p+2)² = [2√(2)]² ----- desenvolvendo, teremos:
4p²+8p+4 = 4*2
4p²+8p+4 = 8 ----- passando "8" para o 2º membro, teremos:
4p²+8p+4-8 = 0
4p²+8p-4 = 0  -------- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "4", com o que ficaremos:

p² + 2p - 1 = 0 ----- aplicando Bháskara, você vai encontrar as seguintes raízes:

p' = -1-√(2)
p'' = -1+√(2).

ii) Agora trabalharemos com a expressão (II), que é esta:

log₂ (q-1) = 1/2 ---- note: conforme a definição de logaritmos teremos isto:

2¹/² = q-1 ----- veja que 2¹/² = √(2). Assim:
√(2) = q-1 ----- agora, para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos:

[√(2)]² = (q-1)² ------ desenvolvendo, ficaremos com:
2 = q²-2q+1 ----- vamos passar "2" para o 2º membro, ficando:
0 = q²-2q+1 - 2
0 = q²-2q-1 --- ou, invertendo-se:
q² - 2q - 1 = 0 ----- aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes:

q' = 1-√(2)
q'' = 1+√(2)

iii) Agora veja que ficamos com as seguintes raízes:

p' = -1-√(2);
p'' = -1+√(2).
e
q' = 1-√(2);
q'' = 1+√(2).

Agora note: se nós pegarmos uma raiz de cada espécie, tomando-se duas a duas, iremos ter o mesmo resultado. Então vamos tomar apenas as duas raízes positivas de cada espécie, que são estas:

p'' = -1+√(2) e q'' = 1+√(2) . Bem, agora vamos para a expressão, cujo valor é pedido na sua questão, e que é:

y = p² + pq + q² ----- substituindo-se "p" e "q" por seus valores, teremos:
y = (-1+√2)² + (-1+√2)*(1+√2)  + (1+√2)² ---- desenvolvendo, teremos:
y = (1-2√(2)+2) + (-1-√(2)+√(2)+2) + (1+2√(2)+2) --- ou apenas:
y = (3-2√(2) ) + (1) + (3+2√(2) ) ---- retirando-se os parênteses, temos:
y = 3-2√(2) + 1 + 3+2√(2) ---- reduzindo-se os termos semelhantes, temos:
y = 7 <---- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.