Question

← Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integra
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Calcule a área delimitada pelos gráficos y = x² e y = √8x.

Answer 1

Resposta: Letra A) A = 8/3 u.a

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Explicação passo a passo:

Calcular a área delimitada pelas curvas $y=x^2$ e $y=\sqrt{8x}$. Para tal, apliquemos a integral definida que se relaciona com a área buscada:

$A=\int^{b}_{a}(\sqrt{8x}-x^2)dx$

A diferença entre as curvas é devido ao fato de a curva $y=\sqrt{8x}$ situar-se acima da curva $y=x^2$ em relação à área.

$~$

Note que não foi dado o intervalo $[a,b]$ em que a área se delimita. Há duas formas de encontrá-lo, ou plotando os gráficos em um software ou calculando algebricamente. De forma algébrica, compare as curvas:

$y=y$

$x^2=\sqrt{8x}$

$(x^2)^2=(\sqrt{8x})^2$

$x^4=8x$

$x^4-8x=8x-8x$

$x(x^3-8)=0$

$x=0~ou~(x^3-8)=0$

$x=0~ou~x^3-8+8=0+8$

$x=0~ou~x^3=8$

$x=0~ou~x^3=2^3$

$x=0~ou~x=2$

$~$

Logo, a área é delimitada por $[0,2]$. Para prosseguirmos, atente-se ao teorema fundamental do cálculo:

$\int^b_a f(x)dx=F(x)\big|^b_a=F(b)-F(a)$

$\therefore$

$\begin{array}{l}A=\int^{2}_{0}(\sqrt{8x}-x^2)dx=\\\\~~=\int(\sqrt{8x}-x^2)dx\,\big|^{2}_{0}=\\\\~~=\int\!\sqrt{8x}\,dx-\int x^2dx\,\big|^{2}_{0}=\\\\~~=\int\sqrt{2^3x}\,dx-\int x^2dx\,\big|^{2}_{0}=\\\\~~=\int2\sqrt{2}\sqrt{x}\,dx-\int x^2dx\,\big|^{2}_{0}=\\\\~~=2\sqrt{2}\int x^{\frac{1}{2}}\,dx-\int x^2dx\,\big|^{2}_{0}=\\\\~~=\bigg(2\sqrt{2}\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}\bigg)\bigg|^{2}_{0}=\end{array}$

   $\begin{array}{l}~~=\bigg(\dfrac{2x^{\frac{3}{2}}\sqrt{2}}{\frac{3}{2}}-\dfrac{x^3}{3}\bigg)\bigg|^{2}_{0}=\\\\~~=\bigg(\dfrac{4\sqrt{x^3}\sqrt{2}-x^3}{3}\bigg)\bigg|^{2}_{0}=\\\\~~=\bigg(\dfrac{4\sqrt{2^3}\sqrt{2}-2^3}{3}\bigg)-\bigg(\dfrac{4\sqrt{0^3}\sqrt{2}-0^3}{3}\bigg)=\\\\~~=\bigg(\dfrac{4(4)-8}{3}\bigg)-\bigg(\dfrac{4(0)\sqrt{2}-0}{3}\bigg)=\\\\~~=\dfrac{16-8}{3}-\dfrac{0}{3}=\\\\~~=\dfrac{8}{3}~u.a\end{array}$

Letra A

Então a área é igual a 8/3 unidades de área.