Question

Questão 1: Vimos no EP9 que o módulo |a − b| representa, na reta dos números reais, a distância entre os pontos a e b. Por exemplo, o esboço abaixo representa, na reta, o conjunto dos valores de x tais que |x − 2| > 1.



Repare que a imagem representa o conjunto dos pontos (os valores de x) cuja distância ao ponto x=2 é maior do que 1. Note ainda que x=1 e x=3 não pertencem ao conjunto, uma vez que, nestes pontos, a distância ao x=2 é igual a 1, e queremos que a distância seja maior do que 1.

Represente, por meio de um esboço como o acima, o conjunto dos valores de x tais que

(a) |x-1| > 2

(b) |x − 2| ≥ 2

(c) |x + 2| < 7

A partir dos esboços acima,

(d) esboce o conjunto dos valores de x que satisfazem simultaneamente às três desigualdades.

Agora, sem considerar a solução geométrica que você fez nos itens anteriores,

(e) Resolva analiticamente (como, por exemplo, nos exercícios 7 e 8 do EP09), o sistema de inequações abaixo:



Pergunta em anexo de imagem

Answer 1

Resposta:

Para as questões (a), (b), (c) e (d),  veja o gráfico na imagem anexa.

Na questão (e), a solução é {x | -9 < x < -1} ∪ {x | 4 <= x < 5} ou (-9, -1) ∪ [4, 5).

Explicação passo a passo:

Esboçando os conjuntos dos itens (a), (b) e (c), podemos obter o conjunto dos valores de x que satisfazem as 3 inequações traçando a intersecção dos conjuntos de (a), (b) e (c) como na figura.

Para o item (e), vamos escrever as inequações:

|x-1| > 2                  (a)

|x - 2| >= 2             (b)

|x + 2| < 7                (c)

Se |y| > k , sendo k > 0, então y < -k ou y > k. Reescrevendo as equações acima, ficamos com:

(a) x - 1 < -2 => x < -1

   ou

   x - 1 > 2  => x > 3      

(b) x - 2 <= -2 => x <= 0

   ou

   x - 2 >= 2 => x >= 4      

(c) x + 2 > -7 => x > -9

   ou

   x + 2 < 7 => x < 5

Combinando as condições de (a) e (b):

x < -1 e x <= 0 => x < -1     (i)

x >3 e x >= 4 => x >= 4     (ii)

Combinando (i) e (ii) com (c):

x < -1 e x > -9

x >= 4 e x < 5

As inequações acima determinam dois intervalos:

-9 < x < -1

4 <= x < 5

ou, em outra notação:

(-9, -1) e [4, 5)

onde parênteses denotam uma extremidade aberta e colchetes uma extremidade fechada.