Question

Questão 1. Utilizando o teste da segunda derivada determine os pontos extremos das funções abaixo:
a) f(x)=1-x²
b) g(x)=x²,
c) h(x) x3+x2-4x+3

Answer 1

Utilizando o teste da segunda derivada para pontos de maximo e minimo de funções, temos que:

a) Ponto maximo em (0,1).

b) Ponto minimo em (0,0).

c) Ponto maximo em $x_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$ e ponto minimo em $x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}$.

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente definir quais são os passos deste teste para não precisar explicar durante a aplicação e somente antes.

1º Passo: Derivar uma vez e igualar a 0.

Neste passo, a derivada nos diz a taxa de crescimento ou decaimento de uma função, assim quando está é 0, temos que é um ponto onde ela não cresce nem descresce, portanto um ponto de maximo ou minimo, que devemos guardar para descobrirmos no proximo passo.

2º Passo: Derivar a segunda vez e substituir o 'x' pelo valor encontrado de extremo no passo 1.

A segunda derivada nos diz que a curvatura da função é positiva (curvada para cima) ou negativa (curvada para baixo), assim quando substituirmos os valores extremos na segunda derivada, se o resultado for um número positivo, então este ponto é de mínimo, pois a função é curvada para cima, logo ela o extremo dele é em baixo, da mesma forma se este resultado for negativo, então este ponto é de maximo, pois a função é cuirvada para baixo, logo seu extremo é em cima.

Assim aplicando esta metodologia:

a) f(x)=1-x²

$f(x)=1-x^2$

$f'(x)=-2x$

$f''(x)=-2$

1º Passo:

$f'(x)=-2x=0$

$x=0$

Ponto extremo em x=0.

2º Passo:

$f''(x)=-2$

A segunda derivada por si só já é negativa, logo, o ponto x=0 é maximo. Podemos ainda substituir na função e descobrir x e y do ponto:

$f(x)=1-x^2$

$f(x)=1-0^2$

$f(x)=1$

Assim temos um ponto de maximo em (0,1).

b) g(x)=x²,

$g(x)=x^2$

$g'(x)=2x$

$g''(x)=2$

1º Passo:

$g'(x)=2x=0$

$x=0$

Ponto extremo em x=0.

2º Passo:

$g''(x)=-2$

A segunda derivada por si só já é positiva, logo, o ponto x=0 é minimo. Podemos ainda substituir na função e descobrir x e y do ponto:

$g(x)=x^2$

$g(x)=0^2$

$g(x)=0$

Assim temos um ponto de minimo em (0,0).

c) h(x) x3+x2-4x+3

$h(x)=x^3+x^2-4x+3$

$h'(x)=3x^2+2x-4$

$h''(x)=6x+2$

1º Passo:

$h'(x)=3x^2+2x-4=0$

Usando Bhaskara:

$x_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}\simeq -1,54$

$x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}\simeq 0,87$

Pontos extremos em $x_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$ e $x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}$.

2º Passo:

$h''(x)=6x+2$

$h''(x)=6(-1,54)+2\simeq -7,24$ (Ponto Maximo)

$h''(x)=6(0,87)+2\simeq 7,22$ (Ponto Minimo)

Assim temos que esta função tem ponto maximo em $x_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$ e ponto minimo em $x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}$.