Question

Questão 1: Uma pizza rodovia está com temperatura de 75°C no asfalto. Suponha que a temperatura T do asfalto, em graus Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em horas após o meio-dia, pela expressão = 100 × 2^-0,8t +25. Responda:
a) Qual a temperatura do asfalto exatamente no
meio-dia?
b) Em qual horário a temperatura foi medida igual a
75°C?
c) Em qual horário a temperatura será igual a 37,5°C?
d) Quanto tempo foi necessário para o asfalto resfriar de
75°C para 37,5°C?

Answer 1

Através dos conhecimentos acerca de Potenciação e Equação exponencial foi possível calcular que:

a) A temperatura do asfalto exatamente ao meio-dia é de 125 ºC.

b) O horário em que se mediu a temperatura de 75 ºC foi 1h15min da tarde.

c) O horário em que a temperatura se igualou a 37,5 ºC foi 3h45min da tarde.

d) Foram necessárias 2 horas e 30 minutos para o asfalto resfriar de 75 °C para 37,5 °C.

Potenciação

Corresponde a uma operação matemática que se baseia em uma multiplicação de números reais iguais, onde: 5³=5*5*5. A potenciação apresenta algumas propriedades que nos permitem efetuar diversas operações, da quais podemos citar:

• Todo número elevado a zero é igual a um: $a^{0}=1$
• Todo número elevado a um é igual a ele mesmo: $a^{1}=a$
• Multiplicação de potências de mesma base: $a^{m}.a^{n}=a^{m+n}$
• Divisão de potências de mesma base: $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$

Equações exponenciais

Como o nome indica, são as equações que se apresentam com pelo menos uma incógnita nos expoentes com bases que sejam números reais positivos diferentes de 1. Algumas propriedades das equações exponenciais que iremos utilizar neste exercício são:

• O expoente negativo representa o inverso de um número: $a^{-1} =\frac{1}{a}$
• Potências de mesma base apresentam igualdade entre os expoentes: $a^{x} =a^{y} \therefore x=y$
• Potência de uma potência: $(a^{m})^{n}=a^{m.n}$

Agora, vamos utilizar estes conhecimentos para encontrarmos as respostas para o exercício.

a) Primeiramente, é importante entendermos que t representa a contagem de horas após o meio-dia. Logo, podemos compreender que exatamente ao meio-dia t=0. Assim, aplicando essa informação na equação teremos:

T=100*$2^{-0,8t}$+25

T=100*$2^{-0,8.0}$+25

T=100*$2^{0}$+25

Como todo número elevado a 0 é igual a um, temos:

T=100*1+25

T=125 ºC

b) Agora, conhecendo a temperatura dada, vamos usar a mesma expressão para sabermos após quantas horas depois do meio-dia (t) a temperatura do asfalto será de 75 ºC. Assim, teremos que:

T=100*$2^{-0,8t}$+25

75=100*$2^{-0,8t}$+25

75-25=100*$2^{-0,8t}$

50=100*$2^{-0,8t}$

50/100=$2^{-0,8t}$

Simplificando a fração, ficamos assim:

1/2=$2^{-0,8t}$

Utilizando agora nossos conhecimentos acerca de equação exponencial podemos lembrar que é possível inverter um número elevando-o a um expoente negativo. Assim, vamos inverter a fração 1/2 para que os dois lados da equação fiquem na mesma base, nos permitindo então utilizar a propriedade da igualdade entre potências da mesma base. Desta forma, teremos:

1/2=$2^{-0,8t}$

$2^{-1}$=$2^{-0,8t}$

-1=-0,8t

0,8t=1

t=1/0,8

t=1,25

Neste caso, a parte inteira representa a hora e a parte decimal os minutos. Logo, sabemos que se trata de 1h da tarde, porém precisamos multiplicar 0,25 por 60 para obtermos os minutos exatos. Então:

0,25x60=15 minutos

Portanto, o horário em que a mediu-se a temperatura de 75 ºC foi 1h15min da tarde.

c) Realizando o mesmo procedimento da alternativa anterior, teremos que a temperatura será igual a 37,5 ºC em:

T=100*$2^{-0,8t}$+25

37,5=100*$2^{-0,8t}$+25

37,5-25=100*$2^{-0,8t}$

12,5=100*$2^{-0,8t}$

12,5/100=$2^{-0,8t}$

0,125=$2^{-0,8t}$

125/1000=$2^{-0,8t}$

Simplificando 125 e 1000 por 25 e posteriormente aplicando as propriedades do expoente negativo e da potência de uma potência, teremos:

125/1000=$2^{-0,8t}$

5/40=$2^{-0,8t}$

$(\frac{40}{5})^{-1}$=$2^{-0,8t}$

$8^{-1}$=$2^{-0,8t}$

$(2^{3})^{-1}$=$2^{-0,8t}$

$2^{-3}$=$2^{-0,8t}$

Como agora as bases são iguais, podemos escrever:

-3=-0,8t

0,8t=3

t=3/0,8

t=3,75

Realizando o procedimento para calcular os minutos, onde multiplicamos a parte decimal por 60, temos:

0,75*60=45 minutos

Logo, a temperatura será de 37,5 ºC às 3h45min da tarde.

d) Para sabermos o tempo de resfriamento entre as temperaturas de 75 ºC e 37,5º, basta realizarmos a subtração entre os horários em que estas temperaturas ocorreram, ficando assim:

3h45min-1h15min=2h30min

Logo, concluímos que foram necessárias 2 horas e 30 minutos para o asfalto resfriar de 75 ºC para 37,5 ºC.

Entenda mais sobre Equações Exponenciais aqui:

https://brainly.com.br/tarefa/1578345