Question

Questão -1 Sendo f(x) = (Vx2 + 2x + 3 - x) o lim f(x) é:
X-+00
a) 1 b)2
c) 3
d) 4
e)​

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular o seguinte limite:

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\sqrt{x^2+2x+3}-x$

Primeiro, reescrevemos a expressão multiplicando e dividindo pelo seu conjugado, isto é, multiplicando a expressão pelo fator $\dfrac{\sqrt{x^2+2x+3}+x}{\sqrt{x^2+2x+3}+x}$

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~(\sqrt{x^2+2x+3}-x)\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+2x+3}+x}{\sqrt{x^2+2x+3}+x}$

Efetue a propriedade do produto da soma pela diferença: $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{x^2+2x+3-x^2}{\sqrt{x^2+2x+3}+x}$

Cancele os termos opostos no numerador

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+2x+3}+x}$

Reescreva a expressão no radicando da seguinte maneira: $x^2+2x+3=x^2\cdot\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)$, de modo que tenhamos:

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2\cdot\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}+x}\\\\\\\ \underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{2x+3}{x\cdot\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}+x}$

Divida o numerador e o denominador por um fator $x$, de forma que tenhamos:

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}+1}$

Por fim, lembre-se que:

• O limite de um quociente de funções contínuas é igual ao quociente do limite das funções: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)}$.
• O limite de uma soma de funções contínuas é igual a soma dos limites das funções: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)+g(x)=\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)+\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)$.
• O limite de uma constante é igual a própria constante.
• Lema: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)}$, para $n\in\mathbb{N}\geq2$ e $f(x)$ contínua.
• O limite $\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{1}{x}=0$.

Aplique a regra do quociente

$\dfrac{\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~2+\dfrac{3}{x}}{\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}+1}$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~2+\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{3}{x}}{\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}+\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~1}$

Aplique a regra da constante e o lema

$\dfrac{2+\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{3}{x}}{\sqrt{\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~1+\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{2}{x}+\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{3}{x^2}}+1}$

Calcule os limites

$\dfrac{2+0}{\sqrt{1+0+0}+1}\\\\\\ \dfrac{2}{\sqrt{1}+1}\\\\\\ \dfrac{2}{1+1}\\\\\\ \dfrac{2}{2}\\\\\\ 1~~\checkmark$

Este é o valor deste limite.