Matemática, perguntado por fernandovertelo, 4 meses atrás

QUESTÃO 1
O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia.

Considere a transformação abaixo:

T(x,y)=(x,3x+2y)

Quais os autovalores relacionados a essa transformação?

Alternativas
Alternativa 1:
1 e 2

Alternativa 2:
-1 e 1

Alternativa 3:
-2 e 2

Alternativa 4:
1 e 3

Alternativa 5:
2 e 3

macplfisio: Autovetores = (1,-3) e (0,1)

Soluções para a tarefa

Respondido por Baldério

Resolução da questão, veja bem:

Os autovalores associados a essa transformação linear são λ = 1 e λ = 2, alternativa 1 do nosso problema!

Para darmos início a resolução da questão, teremos primeiramente que montar a matriz da transformação que foi dada no enunciado. Essa matriz, por sua vez, quando é montada na base canônica do espaço, é dada pela disposição dos componentes da transformação, nas linhas da matriz, ou seja, teremos a seguinte matriz que chamaremos de A:

$\sf{A=\begin{bmatrix} \sf{1}&\sf{0} \\ \sf{3}&\sf{2} \end{bmatrix}}$

A matriz A representa a nossa transformação T(x,y), do IR². Agora, para encontrarmos os autovalores associados à matriz de T, usamos a seguinte expressão:

$\sf{det(A-\lambda I)=0}$

Onde I é a matriz identidade do espaço que estamos trabalhando. Vamos então para os cálculos:

$\sf{det(A-\lambda I)=0}\\\\\\ \sf{det\left(\begin{bmatrix} \sf{1}&\sf{0} \\ \sf{3}&\sf{2} \end{bmatrix}-\lambda\cdot \begin{bmatrix} \sf{1}&\sf{0} \\ \sf{0}&\sf{1} \end{bmatrix} \right)}=\sf{0}\\ \\ \\ \sf{det\left(\begin{bmatrix} \sf{1}&\sf{0} \\ \sf{3}&\sf{2} \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} \sf{\lambda}&\sf{0} \\ \sf{0}&\sf{\lambda} \end{bmatrix} \right)}=\sf{0}$

$\sf{det\left(\begin{bmatrix} \sf{1-\lambda}&\sf{0} \\ \sf{3}&\sf{2-\lambda} \end{bmatrix}\right)}=\sf{0}\\ \\ \\ \sf{(1-\lambda)\cdot (2-\lambda)=0}\\ \\ \\ \sf{1-\lambda=0~\to~\lambda=1}\\ \\ \\ \sf{2-\lambda=0~\to~\lambda=2}$