Question

Questão 1. [LIMITES – Desafio Nível – Junyor]

Calcule o seguinte limite trigonométrico sem o uso do L'HOSPITAL:

$\underset{_{x \to \frac{\pi}{4}}}{\lim} \left[ \dfrac{\sqrt{1 - \sqrt{\sin(2x)} }}{\pi - 4x} \right]$

BrainlyInquirer@Tuesday
(07/04/2020)​

Answer 1

Recordamos o limite fundamental do seno:

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\, \dfrac { \sin x}x = 1$

Tal limite decorre do teorema do sanduíche e das desigualdades

sen(x) < x < tan(x) ⇒ 1 < x / sen(x) < 1/cos(x)

que vale  para x ∈ (0, π/2) e de

sen(x) >  x >  tan(x) ⇒ 1 < x / sen(x) < 1/cos(x)

que vale no intervalo (-π/2,0)

Notamos que isso implica que

( I ) $\displaystyle \lim_{ x \to 0} \, \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0}\, \dfrac{\sin^2x}{x^2( 1+ \cos x)} = \dfrac 12$

que será usado nessa questão.

Queremos calcular

$L = \displaystyle \lim_{ x\to \frac \pi 4}\, \dfrac{\sqrt{1 - \sqrt{\sin 2x}}}{\pi - 4x}$

Vamos fazer a mudança de variável y = π/4 -  x. Daí o limite fica

$L = \displaystyle \lim_{y \to 0} \, \dfrac{\sqrt{1 - \sqrt{ \cos 2y}}}{4y}$

Se y > 0 temos 2y = √(4y²) e portanto:

$L_+ = \displaystyle \lim_{y \to 0^+} \, \dfrac{\sqrt{1 - \sqrt{ \cos 2y}}}{4y} = \lim_{y \to 0^+} \, \left[\dfrac{1}{2\sqrt{1 + \sqrt{ \cos 2y}}} \cdot \sqrt{\dfrac{1 - \cos 2y}{4y^2}} \right]$

No limite acima, o fator da direita tende a  1/√2 por ( I ) e o fator da esquerda tende a 1/2√2. Com isso concluímos que L₊ = 1/4. Por outro lado, o outro limite lateral deve ser L ₋ = -1/4 pois a função é ímpar. Assim, os limites laterais são distintos e não existe L.

Resposta:

O limite procurado não existe, os limites laterais são 1/4 e -1/4