Questão 1/5 - Análise Matemática “Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista. É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: I. A soma dos n n primeiros números ímpares é n 2 , n ≥ 1 n2, n≥1. PORQUE II. Dados os números ímpares: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , ⋯ 2 n − 1 ( n n a t u r a l n > 0 ) 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0), se tivermos dois ímpa
Soluções para a tarefa
Completando a questão:
I. A soma dos n n primeiros números ímpares é n², n ≥ 1
PORQUE
II. Dados os números ímpares: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , ⋯ 2n − 1 ( n natural n > 0 ) se tivermos dois ímpares, n=2, a soma será S = 1 + 3 = 4 = 2² e se tivermos 5 números ímpares a soma será S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5².
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da primeira.
C) A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E) As asserções I e II são proposições falsas.
Resolução:
A alternativa correta é a letra b).
De fato, as duas asserções são verdadeiras.
Porém, para provar que a primeira é verdadeira não podemos utilizar exemplos. Devemos provar que vale para TODOS os números ímpares.
Para isso, devemos utilizar o Princípio da Indução Matemática.
Uma forma correta de justificar a primeira asserção é:
P[n] é 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n².
Quando n = 1, tem-se que 2.1 - 1 = 1 = 1².
Portanto, P[1] é válida.
Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário fixado. Ou seja, suponha que vale 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n². Deve-se provar que 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 + 2n + 1 = (n + 1)², isto é, que P[n + 1] é verdade.
Demonstração:
1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 + 2n + 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)²
Portanto, P[n + 1] é verdadeira. Como o natural n inicial era arbitrário, provou-se então que para todo n ∈ IN, P[n] ⇒ P[n + 1].
Logo, pelas etapas acima e pelo Princípio da Indução Matemática, tem-se que P[n] é válida para todo n ∈ IN, cqd.