Question

Questão 05 (IFRN – 2014) - Analise o texto a seguir. As curvas de Lorentz são utilizadas nas
estatísticas sobre a distribuição de riqueza de uma sociedade. A desigualdade na distribuição de
riqueza é medida pelo índice de Gini
(IG)
, modelado pela expressão
IG x L x dx 
= −
1
0
( )
sendo
L(x)
a equação de uma curva de Lorentz. Quanto menor o índice
IG
, mais justa é a distribuição de renda.
Quanto maior o índice, mais riqueza está concentrada em poucos indivíduos.
Fonte: HOFFMANN, L.; BRADLEY, G. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. (p. 326-327)
Suponha que determinada classe de comerciantes de uma cidade tenha distribuição de renda
expressa pela curva de Lorentz
x
x
L x
7
2
7
3
( )
4
= +
. O índice de Gini dessa classe está mais próximo
de
A) 0,1. B) 0,4. C) 0,5 D) 0,2. E) 0,3.

Answer 1

O índice Gini da classe de comerciantes fornecida é de 0,271.

Explicação passo-a-passo:

$L(x)=\frac{3}{7}x^4+\frac{2}{7}x=\frac{1}{7}(3x^4-2x)$

Logo,

$IG=\int\limits^0_1 {\left[x - L(x) \right]} \, dx \\\\IG=\int\limits^0_1 {\left[x - \frac{1}{7}(3x^4+2x) \right]} \, dx\\\\IG=\int\limits^0_1 {\frac{1}{7}\left[7x-3x^4-2x \right]} \, dx \\\\IG=\frac{1}{7}\;.\;\int\limits^0_1 {5x-3x^4 \right]} \, dx \\\\IG=\frac{1}{7}\;.\;\left[\frac{5x^2}{2}-\frac{3x^5}{5}  \right]_0^1\\\\IG=\frac{1}{7}\;.\;\left(\frac{5}{2}-\frac{3}{5}  \right)\\\\IG=\frac{1}{7}\;.\;\frac{25-6}{10}\\\\IG=\frac{19}{70}=0,271$

Portanto, a alternativa correta é a letra E.