Question

QUESTÃO 05
Considere a PG finita e crescente cujo sétimo termo (a)
seja igual a 5, o décimo primeiro (a,.) igual a 80 e o último
termo seja 2 560. Determine:
a. o primeiro termo (a, e a razão dessa PG;
b. o número dos termos da progressão.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

São dados:

a7 = 5

a11 = 80

an = 2560

Observe que ele deu dois termos de dentro da PG. Com isso podemos descobrir a razão. Entre 7 e 11 há 5 termos, incluindo os extremos.

a. Basta aplicarmos na fórmula geral da PG.

$a11 = a7 \times {q}^{n - 1}$

80 = 5 x q^4

80/5 = q^4

⁴V16 = q

q = 2

A razão da PG é 2, portanto.

Com isso, podemos descobrir o A1. Vamos considerar o final da PG sendo o A7 para isso. Entre A7 e A1 há 7 termos, incluindo os dois.

$a7 = a1 = \times {q}^{n - 1}$

5 = A1 x 2⁶

5 = A1 × 64

5/64 = A1

A1 = 5/64

b. Sabendo o primeiro termo, a razão e o An, podemos descobrir quantos termos há na PG.

$2560 = \frac{5}{64} \times {2}^{n - 1}$

Passando a fração para o primeiro membro:

2560 / 5/64 = 2^n-1

Em divisão de frações, repetimos a primeira vezes o inverso da segunda.

2560 × 64/5 = 2^n-1

32768 = 2^n-1

Aqui complica um pouco... Fica complicado fazer à mão, mas 32768 pode ser escrito também como 2^15.

Igualando as bases, igualamos os expoentes:

2^15 = 2^n-1

Com isso, temos que:

15 = n-1

n = 16