Question

Questão 04 O segundo elemento da linha 2021 do triângulo de pascal é:​

Answer 1

Resposta:

2021

Explicação passo-a-passo:

O triângulo de Pascal é expresso pelos coeficientes da expressão (x+y)ⁿ, onde cada coeficiente está em uma coluna diferente e n é o número da linha.

Para n=0: (x+y)⁰=1

Para n= 1: (x+y)¹= x + y (coeficientes: 1 e 1)

Para n=2: (x+y)²= (x+y)(x+y)x²+xy+xy+y²=x²+2xy+y² (coeficientes: 1,2,1)

Para n=3: (x+y)³= (x+y)(x²+2xy+y²)= x³+2x²y+xy²+x²y+2xy²+y³= x³+3x²y+3xy²+y³.

...

Considere p um número natural tal que 0 ≤ p ≤ n. Note que cada parcela de (x+y)ⁿ é obtida escolhendo x ou y em cada um dos n termos (x+y) e multiplicando estes elementos. Note também que serão obtidas parcelas iguais, nesse caso será necessário somar elas (vide exemplo acima).

Pelo princípio da contagem: para acharmos o coeficiente de

${x}^{n - p} {y}^{p}$

Devemos tirar n-p vezes X (ou p vezes y) dentre n elementos. Isso pode ser feito usando a fórmula da combinação/binômio de newton:

$\binom{n}{p}$

Que equivale a n!/(p!.(n-p!))

Pelo enunciado: n= 2021 e p=1 (observe os exemplos, a 1ª coluna tem p=0, logo na segunda p=1)

$\binom{2021}{1} = 2021$