Question

Questão 03: Na figura a seguir, M é o ponto médio do lado BC, o comprimento de AC ´ é cinco vezes o comprimento de AE e a área hachurada é de 10 cm2

Determine a área do quadrilátero ABCD.

Answer 1

Com base nas propriedades das áreas proporcionais, obteve-se que a área do quadrilátero ABCD é de 112,5 cm². A seguir, explicaremos como chegamos a esse resultado

Para este problema, usamos 2 propriedades (ver imagem em anexo):

• Relação de áreas em triângulos semelhantes

• Relação de áreas determinada por uma ceviana

Na imagem anexa, representamos graficamente o problema com as condições que nos fornecem, cuja resolução consiste no seguinte:

• Podemos ver que a Área DEC = 10cm² e também temos AE = k ; EC = 4k, por relação das áreas determinadas por uma ceviana, é cumprido o seguinte:

       $\dfrac{\text{AE}}{\text{EC}} =\dfrac{\text{Area ADE}}{\text{Area DEC}} \\\\\\\\\dfrac{\text{k}}{\text{4k}} =\dfrac{\text{Area ADE}}{\text{10}} \\\\\\\\\text{10(k) = (4k)}(\text{Area ADE})\\\\\\\\\text{10/4 = Area ADE}\\\\\\\\\boxed{\boldsymbol{2,5 cm^{2} = Area\ ADE}}$

• Os triângulos ADE ; EMC são semelhantes, por áreas em triângulos semelhantes, obtemos:

       $\dfrac{\text{(AE)}^{2} }{\text{(EC)}^{2} } =\dfrac{\text{Area ADE}}{\text{Area EMC}} \\\\\\\\\dfrac{\text{(k)}^{2} }{\text{(4k)}^{2} } =\dfrac{\text{2,5}}{\text{Area EMC}}\\\\\\\\\dfrac{\text{k}^{2} }{\text{16k}^{2} } =\dfrac{\text{2,5}}{\text{Area EMC}}\\\\\\\\\dfrac{1 }{\text{16} } =\dfrac{\text{2,5}}{\text{Area EMC}}\\\\\\\\\text{Area EMC = 16(2,5)}\\\\\\\\\boxed{\boldsymbol{Area\ EMC = 40cm^{2} }}$

• Plotamos BE, como BM = MC por relação das áreas determinadas por uma ceviana obtemos:

       $\dfrac{\text{BM}}{\text{MC}} =\dfrac{\text{Area EMB}}{\text{Area EMC}} \\\\\\\\\dfrac{\text{1}}{\text{1}} =\dfrac{\text{Area EMB}}{\text{40}} \\\\\\\\\boxed{\boldsymbol{40 cm^{2} = Area\ EMB}}$

 

     

• Como AE = k ; EC = 4k por relação das áreas determinadas por uma ceviana obtemos:

       $\dfrac{\text{AE}}{\text{EC}} =\dfrac{\text{Area ABE}}{\text{Area EBC}} \\\\\\\\\dfrac{\text{k}}{\text{4k}} =\dfrac{\text{Area ABE}}{\text{80}} \\\\\\\\\text{80(k) = (4k)}(\text{Area ABE})\\\\\\\\\text{80/4 = Area ABE}\\\\\\\\\boxed{\boldsymbol{20 cm^{2} = Area\ ABE}}$

• Finalmente encontramos a área do quadrilátero ABCD:

       $\text{Area ABCD = Soma das areas encontradas}\\\\\\\\ \text{Area ABCD = 2,5 + 10 + 40 + 40 + 20}\\\\\\\\\\\boxed{\boxed{\LARGE{\textsc{Area ABCD = 112,5 cm}}^{2} }}$

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$\boxed{\boxed{\huge{\textit{Espero ter ajudado, Boa sorte!!}}}}$