Question

Questão 03) Determine os valores reais de p para que a reta de equação 2x – y + p = 0 seja tangente à circunferência de equação x² + y² - 4x – 6y – 5 = 0.

Answer 1

Resposta:

$p=3\sqrt{10}-1\\ou\\p= -3\sqrt{10}-1$

Explicação passo a passo:

Vamos determinar o centro C e o raio r da circunferência.

x² + y² - 4x – 6y – 5 = 0

x² - 4x + y² - 6y = 5

Completando os quadrados

x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 5 + 4 + 9

(x - 2)² + (y - 3)² = 18

C(2, 3) e r = 3√2

s: 2x-y + p = 0

Calculando a distância de um ponto a uma reta:

$\frac{|ax_C+by_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2} } =dC_s\\\\\frac{|2.2-1.3+p|}{\sqrt{2^2+(-1)^2} } =3\sqrt{2} \\\\\frac{|1+p|}{\sqrt{5} } =3\sqrt{2} \\\\|1+p|=3\sqrt{10} \\\\1+p=3\sqrt{10}\\\\p=3\sqrt{10}-1\\ou\\p=-3\sqrt{10} -1$