Question

Questão 03:
A área de um triângulo é 25/2 e seus vértices são (0,1), (2,4)e(-7,k). Nesse caso qual será o
possível valor de k?​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja um triângulo $\triangle{ABC}$ cujos vértices são os pontos do plano cartesiano $A=(x_0,~y_0),~B=(x_1,~y_1)$ e $C=(x_2,~y_2)$. A área $A(\triangle{ABC})$ desta região é calculada pela fórmula:

$A(\triangle{ABC})=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\\end{Vmatrix}$.

Então, seja a área de um triângulo igual a $\dfrac{25}{2}~\bold{u.~a}$ e cujos vértices são os pontos $(0,~1),~(2,~4)$ e $(-7,~k)$. Devemos determinar os possíveis valores de $k$.

Substituindo as coordenadas dos pontos na fórmula e a área do triângulo, teremos:

$\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}0&1&1\\2&4&1\\-7&k&1\\\end{Vmatrix}=\dfrac{25}{2}$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $2$

$\begin{Vmatrix}0&1&1\\2&4&1\\-7&k&1\\\end{Vmatrix}=25$

Para calcular este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{vmatrix}0&1&1\\2&4&1\\-7&k&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}0&1\\2&4\\-7&k\\\end{matrix}\right|=25$

Aplique a Regra de Sarrus

$|0\cdot4\cdot1+1\cdot1\cdot(-7)+1\cdot2\cdot k-(1\cdot2\cdot1+0\cdot1\cdot k+1\cdot4\cdot(-7))|=25$

Multiplique e some os valores

$|-7+2k-(2-28)|=25\\\\\\ |19+2k|=25$

Para resolver esta equação modular, lembre-se que o módulo de um número é definido como $|x|=\begin{cases}x,~se~x\geq0\\-x,~se~x<0\\\end{cases}$. Assim, teremos duas possíveis soluções:

$19+2k=25~~\bold{ou}~~19+2k=-25$

Subtraia $19$ em ambos os lados das igualdades

$2k=6~~\bold{ou}~~2k=-44$

Divida ambos os lados das igualdades por um fator $2$

$\boxed{k=3~~\bold{ou}~~k=-22}~~\checkmark$

Estes são os possíveis valores de $k$ que satisfazem a condição determinada pelo enunciado.