Question

Questão 02
Seja x = Log 3/2 + Log 9/2 + Log 25/2.
Então, é correto afirmar que

Answer 1

Resposta:

Alternativa D

Explicação passo a passo:

Primeiro, vamos olhar para os logaritmandos, que são os números da frente. Temos 3, 9 e 27.

9 pode ser escrito como 3²

27 pode ser escrito como 3³

então, reescrevendo a soma:

$x=log_23+log_23^2+log_23^3$

Usando uma das propriedades dos logaritmos, podemos escrever:

$x=log_23+2log_23+3log_23\\\\x=6log_23$

Ou seja, o resultado é 6 vezes $log_23$. Se o uso de calculadoras for permitido, você pode mudar esse logaritmo para a base 10 e calcular a fração, assim:

$6log_23=6*\frac{log_{10}3}{log_{10}2} =6*1,59 \approxeq9,5$

Se o uso de calculadoras não for permitido... se segura ai que é paulada

Vamos definir um limite inferior e um limite superior para $log_23$. Temos a equação:

$log_23=x$

Sabemos, pelas propriedades dos logaritmos, que ela pode ser escrita como:

$2^x=3$

Vamos elevar toda essa equação ao quadrado:

$2^{2x}=3^2\\\\2^{2x}=9$

Para usarmos as propriedades das potências, as bases precisam ser iguais.

Qual o primeiro número maior que 9 que pode ser escrito como uma potência de base 2? é $2^4$. Esse será nosso limite superior, ou seja, $log_23$ não pode ser maior do que ele. Então:

$2^{2x} < 2^4\\\\2x < 4\\\\x < \frac{4}{2}\\\\x < 2$

Qual o primeiro número, menor que 9, que pode ser escrito como uma potência de base 2? é $2^3$. Esse é o limite inferior, então $log_23$ não pode ser menor do que ele.

$2^{2x} > 2^3\\\\2x > 3\\\\x > 3/2$

Ou seja, x precisa ser menor que 2 e maior do que 3/2. Porém, lembre-se que a equação é $6*log_23=x$, então precisamos multiplicar os limites por 6:

X precisa ser menor que 6*2 e precisa ser maior que 6* 3/2

9<x<12

O único item que entra nessa definição é a alternativa D.

Divertido, né não? :D

Answer 2

O valor de x está entre 9 e 10. Alternativa D.

• Desenvolva essa soma de logaritmos aplicando as propriedades a seguir.

$\large \sf x=log_2 ~3+log_2~9+log_2~27$  ⟹ Fatore os logaritmandos.

$\large \sf x=log_2 ~3+log_2~3^2+log_2~3^3$  ⟹ Propriedade soma de logaritmos.

$\large \sf x=log_2 ~(3 \cdot 3^2 \cdot 3^3)$  ⟹ Propriedade soma de potenciações.

$\large \sf x=log_2 ~3^6$  ⟹ Aplique a definição de logaritmo.

$\large \sf 2^{^X}=3^6$  ⟹ Execute a potenciação.

$\large \sf 2^{^X}=729$

• Tenha em mente que no Ensino Médio é aconselhável memorizar algumas potenciações como se faz com a tabuada no Ensino Fundamental I.
• Observe que a potência de base 2 menor que 729 é 2⁹ = 512, e a potência de base 2 maior que 729 é 2¹⁰ = 1024. Faça a comparação a seguir:

$\large \sf 2^{9}=512$

$\large \sf 2^{^X}=729$

$\large \sf 2^{10}=1024$

Comclui-se portanto que para 2ˣ = 729, o expoente x está entre 9 e 10. Alternativa D.

Aprenda mais:

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