Questão 02 - Se (x + 1)! = 3(x!), então x é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Soluções para a tarefa
Equações com fatoriais são sempre um problema, pois os valores possíveis para o fatorial são limitados, de modo que uma equação do tipo
só tem solução para um conjunto muito pouco denso de k. Normalmente o que fazemos nessas soluções é obter um polinômio a partir da divisão de fatoriais, já que
Tem solução para um conjunto mais denso de k. No exercício dado podemos obter um polinômio bem claro, basta dividir por x!,
Obtemos, portanto, que a resposta é alternativa b)
- Define-se fatorial de um número inteiro positivo n, cuja notação é n!, o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n.
n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
- Observe portanto que:
(x + 1)! = (x + 1) ⋅ x ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ①
- Observe ainda que, pela definição:
x! = x ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ②
- Substitua ② em ①.
(x + 1)! = (x + 1) ⋅ x!
- Do enunciado, se (x + 1)! = 3(x!) então:
(x + 1)! = 3(x!)
(x + 1) ⋅ x! = 3(x!) ⟹ Divida ambos os membros por x!
x + 1 = 3 ⟹ Subtraia 1 de ambos os membros.
x = 2
Resposta: Alternativa B.
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