Question

Questão 02: Determine a equação do 2 grau na incógnita x, sabendo que as raízes dessa equação são os números x’ = - 4 e x” = 7.

Answer 1

A equação do segundo grau, ou função polinomial do 2° grau representada por: $\boldsymbol{ \textstyle \sf ax^{2} +bx + c = 0 }$, para todo $\boldsymbol{ \textstyle \sf \sf x\in\mathbb{R} }$ em que os coeficientes a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

Discriminante Δ:

$\displaystyle \sf \Delta = b^2 -4 a c$

Na fórmula de Bhaskara:

$\displaystyle \sf x = \dfrac{-\: b \pm \sqrt{\Delta } }{2a}$

Raízes da equação:

$\displaystyle \sf x_1 = \dfrac{-\: b + \sqrt{\Delta } }{2a}$

$\displaystyle \sf x_2 = \dfrac{-\: b - \sqrt{\Delta } }{2a}$

Soma das raízes (S):

$\displaystyle \sf x_1+ x_2 = \dfrac{-\: b +\sqrt{\Delta } }{2a} + \dfrac{-\: b -\sqrt{\Delta } }{2a}$

$\displaystyle \sf x_1+ x_2 = \dfrac{-\: \diagup\!\!\!{ 2 } b }{\diagup\!\!\!{ 2} a}$

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf S = x_1+x_2 = -\: \dfrac{ b}{a} }}$

Produto das raízes (P):

$\displaystyle \sf x_ \cdot x_2 = \dfrac{-\: b+ \sqrt{\Delta } }{2a} \cdot \dfrac{-\: b- \sqrt{\Delta } }{2a}$

$\displaystyle \sf x_ \cdot x_2 = \dfrac{ \left(-\: b+ \sqrt{\Delta } \right) \cdot \left(-\: b+ \sqrt{\Delta } \right) }{4a^2}$

$\displaystyle \sf x_ \cdot x_2 = \dfrac{ (-\: b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2 }{4a^2}$

$\displaystyle \sf x_ \cdot x_2 = \dfrac{ b^2 -\: \Delta }{4a^2}$

$\displaystyle \sf x_ \cdot x_2 = \dfrac{ b^2 -\: (b^2 -4ac) }{4a^2}$

$\displaystyle \sf x_ \cdot x_2 = \dfrac{ b^2 -\:b^2 +4ac }{4a^2}$

$\displaystyle \sf x_ \cdot x_2 = \dfrac{4ac }{4a^2}$

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf S = x_1\cdot x_2 = \dfrac{ c}{a} }}$

Podemos escrever a equação desta maneira:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf x^{2} -\: Sx + P = 0 }}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\displaystyle \sf \begin{cases} \sf x_1 = x' = -\: 4 \\ \sf x_2 = x'' = 7 \end{cases}$

Somas das raízes:

$\displaystyle \sf S = x_1 +x_2$

$\displaystyle \sf S = -4 + 7$

$\boldsymbol{ \textstyle \sf S = 3 }$

Produto das raízes:

$\displaystyle \sf P = x_1 \cdot x_2$

$\displaystyle \sf P = -4 \cdot 7$

$\boldsymbol{ \textstyle \sf P = -\: 28 }$

Substituindo a fórmula, temos:

$\displaystyle \sf x^{2} -\: Sx +P = 0$

$\displaystyle \sf x^{2} -\:3x +(-\:28) = 0$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf x^{2} -3x - 28 = 0 }}}$

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Answer 2

f(x) = x² − 3x − 28

• Se a e b são raízes de uma equação do segundo grau então essa equação é divisível por (x − a) e (x − b).

• Considere a função do segundo grau f(x) = ax² + bx + c.
• Se −4 e 7 são suas raízes então ela é divisível por (x + 4) e (x − 7).

$\large \sf \dfrac{ax^2 + bx +c }{(x + 4) \cdot (x-7)} = 1$

• Portanto para obter a equação simplesmente obtenha o produto (x + 4) • (x − 7).

f(x) = (x + 4) • (x − 7) ⟹ Execute a operação distributiva da multiplicação.

f(x) = x² − 7x + 4x − 28 ⟹ Reduza os termos semelhantes.

f(x) = x² − 3x − 28

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