Question

QUESTÃO 02
A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1º termo dessa PA é 2, qual
é a razão da PA?
(A) 4
(B) 5
(C) 6​

Answer 1

Resposta:

a) 4

Explicação passo-a-passo:

O enunciado nos dá duas informações: a soma dos dez termos de uma progressão aritmética (PA) e o primeiro termo da mesma PA.

Lembre-se que uma progressão aritmética é toda sequência formada por números que resultam da soma do número anterior com a razão.

Assim, a soma ($S_{n}$) é 200 e o primeiro termo é 2.

A fórmula da soma é a seguinte:

$S_{n} = \frac{n . (a_{1} + a_{n})}{2}$

Sendo que:

• $S_{n}$ é a soma de n termos da PA ($S_{10} = 200$);
• $n$ é a posição do termo (10);
• $a_{1}$ é o primeiro termo da PA (2);
• $a_{n}$ é o enésimo termo da PA que iremos descobrir para prosseguir.

Assim:

$S_{n} = \frac{n . (a_{1} + a_{n})}{2}$

I. Substituindo os termos:

$S_{10} = \frac{10 . (2 + a_{n})}2}$

II. Substituindo novamente os termos e aplicando a propriedade distributiva:

$200 = \frac{20 + 10a_{n}}{2}$

III. Realizando a divisão:

$200 = 10 + 5a_{n}$

IV. Agrupando os termos semelhantes:

$200 - 10 = 5a_{n}$

V. Agora, resolveremos a equação normalmente:

$190 = 5a_{n}$

$5a_{n} = 190$

$a_{n} = \frac{190}{5}$

$a_{n} = 38$

Assim, o valor da enésima posição é 38.

VI. Agora, o termo geral de uma PA:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) . r$

Sendo que:

• $n$ é a posição do termo (10);
• $a_{1}$ é o primeiro termo da PA (2);
• $a_{n}$ é o enésimo termo da PA (38);
• $r$ é a razão que iremos descobrir.

VII. Substituindo os valores, temos:

$a_{10} = a_{1} + (n - 1) . r$

Perceba que $a_{n} = a_{10}$

$38 = 2 + (10 - 1) . r$

VIII. Agora, calcularemos normalmente a equação:

$38 = 2 + 9r$

$38 - 2 = 9r$

$36 = 9r\\9r = 36\\r = \frac{36}{9} \\r = 4$

Portanto, a razão da PA é 4.

Espero ter ajudado! Bons estudos!