Questão 01) Quando se tem por objetivo determinar uma função primitiva partindo de uma derivada pode-se integrar a função derivada. Para funções mais simples, podemos aplicar as regras básicas de integração diretamente, no entanto, se a função for mais complexa, muitas vezes, uma função composta, é necessário utilizar técnicas mais sofisticadas, como a integração por substituição ou integração por partes. Sendo assim:
a) Calcule a integral da função:
f(x)=4 x^3/x^4 +1
Utilizando a regra da substituição, encontre a função primitiva F(x) e determine o valor da função quando x = 1 e C = 5,31.
b) Calcule a integral definida da função:
f(x) =x . e^x
Utilizando a regra da integração por partes variado de x = 0 a x = 2.
Soluções para a tarefa
A função primitiva é ln(x⁴ + 1) + c e o valor da função quando x = 1 e c = 5,31 é ln(2) + 5,31; A integral da função f(x) = x.eˣ variando entre x = 0 e x = 2 é e² + 1.
a) Para calcularmos a integral da função f(x) = 4x³/(x⁴ + 1), vamos utilizar a substituição simples.
Para isso, considere que u = x⁴ + 1.
Assim, temos que du = 4x³.dx.
Dito isso, temos a seguinte integral:
∫f(x).dx = ∫du/u = ln(u) + c = ln(x⁴ + 1) + c.
Sendo x = 1 e c = 5,31, temos que:
ln(1⁴ + 1) + 5,31 = ln(2) + 5,31.
b) Para calcularmos a integral da função f(x) = x.eˣ, vamos utilizar a técnica de integração por partes.
Para isso, considere que u = x e dv = eˣ.
Então, du = dx e v = eˣ.
A integração por partes é definida por:
- ∫u.dv = u.v - ∫v.du.
Portanto:
∫f(x).dx = x.eˣ - ∫eˣ.dx
∫f(x).dx = x.eˣ - eˣ.
Substituindo os limites de integração:
2.e² - e² - (0.e⁰ - e⁰) = e² + 1.