Question

QUESTÃO 01 (ENEM - Adaptada) – Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada imagem abaixo. Sabe-se que a expressão que fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura é dada por C = 3Q + 1. Para essa atividade, foram escolhidos os trinta primeiros alunos da chamada para montarem os quadrados, sendo que cada aluno deveria montar a quantidade de quadrados referente a sua posição na chamada, ou seja, o primeiro aluno deveria montar um quadrado; o segundo aluno, dois quadrados; até que o trigésimo aluno montasse trinta quadrados. Para que todos os trinta alunos consigam montar os seus quadrados, a professora precisará de: * 2 pontos Imagem sem legenda 91 canudos 95 canudos 1.425 canudos 2.850 canudos

Answer 1

Resposta:

A professora precisará de 1.425 canudos

Explicação passo a passo:

• $C=$ quantidade de canudos;
• $Q=$ número de quadrados formados.

Em primeiro lugar, vale ressaltar que há duas maneiras de se pensar a quantidade de canudos utilizadas pelo último aluno, que formará 30 quadrados, sendo a primeira a mais direta e fácil;

**Lembre-se que o exercício quer a quantidade TOTAL de canudos usados por TODOS os alunos e não somente a quantidade usada pelo trigésimo aluno.

O exercício já nos forneceu a equação que rege a relação entre C e Q. Logo, fica muito mais simples de se resolver.

Veja, para o primeiro quadrado (figura 1) conseguimos contar que foram utilizados 4 canudos, mas essa solução também é encontrada na equação fornecida:

$C=3*Q+1\\C=3*1+1=3+1=4$

Adorando que esse mesmo princípio vale para quaisquer quadrados, portanto, basta substituirmos Q por 30 (trigésimo quadrado) na equação fornecida e teremos a quantidade necessária para formarmos os 30 quadrados, apenas.

$C=3*Q+1\\C=3*30+1=90+1=91$

Porém...

Perceba, conforme a figura, que a quantidade de canudos utilizados forma uma P.A. (progressão aritmética) de razão 3.

1. Para um quadrado são necessários 4 canudos;
2. Para dois quadrados são necessários 7 canudos e;
3. Para três quadrados são necessários 10 canudos.

Dessa maneira, temos a P.A. (4, 7, 10, ..., C₃₀). Portanto, para sabermos quantos canudos o trigésimo aluno precisará, basta encontrarmos o trigésimo termo da P.A acima.

• Termo geral de uma P.A.: $a_n}=a_{1}+(n-1)*r$

∴   $a_n}=a_{1}+(n-1)*r\\\\C_{30}=4+(30-1)*3\\\\C_{30}=4+29*3\\\\C_{30}=4+87\\\\C_{30}=91$

Agora, sabemos quantos canudos foram usados pelo primeiro e pelo trigésimo aluno e, portanto, podemos cálcular quantos canudos a turma inteira usou pela soma finita de uma P.A..

• $P.A.=(4,7,10,...,91)$
• $r=3$

• $S_{f}=\frac{(a_{1}+a_{n})*termos}{2}$;

Assim, a quantidade de canudos que a professora precisará é:

$S_{f}=\frac{(a_{1}+a_{n})*termos}{2}\\\\S_{f}=\frac{(4+91)*30}{2}\\\\S_{f}=\frac{95*30}{2}=95*15=1.425$