Question

QUESTÃO 01

Devemos
projetar um jardim de área retangular e protegido por uma cerca. Qual é
a maior área possível de tal jardim se dispusermos de apenas 100 m
lineares de cerca?

Answer 1

Sabemos que a Area de um retângulo se dá por: $A=x*y$
E no exercicio foi dado o perimetro=100m.
E, em um retângulo há dois lados para a base e dois lados para a largura. Então o perímetro resulta em:
$2x+2y=100$
Isolando y:
$2x+2y=100\\2y=100-2x\\y=50-x$

Substituindo este resultado na area, temos:
$A=x*(50-x)\\A=50x-x^{2}$

Até aqui tudo bem, agora vamos utilizar a derivada para encontrar o ponto máximo. Obs: Vou deduzir que você já conheça a derivada, mesmo assim,
se não conhecer, vou dar uma breve explicação: A derivada na linguagem mais formal é a taxa de variação instantânea em um ponto de uma função qualquer. Ou melhor, a derivada é a reta tangente em uma curva, o ponto que esta reta tangente da função é paralelo ao eixo dos 'x' é o que chamamos de máximo ou mínimo, é o que procuramos.

Pois bem, voltando:
$\frac{dA}{dX}=50x-x^{2}\\ \frac{dA}{dX}= 50-2x$
Mas o ponto máximo na derivada é dado por: $\frac{dA}{dX}=0$

Então: $50-2x= \frac{dA}{dX}\\\\ 50-2x=0\\x=25m$

Encontramos o valor máximo para 'x' para o perímetro de 100m, então vamos substitui-lo na area:
$A=50x-x^{2}\\A=50*25-(25)^{2}\\A=625m^{2}$

A área máxima para o perímetro dado é 625m² :.