Question

QUESTÃO 01 - As raízes da equação x³ + 3x² + kx - 8 = 0, onde k ∈ IR, formam
uma progressão aritmética. O valor de k é:
a) - 10
b) - 8
c) - 6
d) 6
e) 8

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{x^3 + 3x^2 + kx - 8 = 0}$

$\mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3}{1} = -3}$

$\mathsf{x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 = -\dfrac{d}{a} = \dfrac{8}{1} = 4}$

$\mathsf{x_2 = \dfrac{x_1 + x_3}{2}}$

$\mathsf{x_1 + x_3 = 2x_2}$

$\mathsf{2x_2 + x_2 = -3}$

$\mathsf{3x_2 = -3}$

$\mathsf{x_2 = -1}$

$\begin{cases}\mathsf{x_1 + x_3 = -2}\\\mathsf{x_1\:.\:x_3 = -8}\end{cases}$

$\mathsf{x_1 = 2}$

$\mathsf{x_3 = -4}$

$\mathsf{(x - 2)(x + 1)(x + 4) = 0}$

$\mathsf{x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{k = -6}}}\leftarrow\textsf{letra C}$

Answer 2

Após os cálculos podemos afirma que o valor de k = - 6 e as raízes do polinômio da questão estarão em P.A. E que corresponde alternativa correta a letra C.

As relações de Girard são relações entre os coeficientes de uma equação algébrica e as raízes da mesma equação.

A equação algébrica do 3° grau $\textstyle \sf \sf ax^3 +bx^{2} +cx +d = 0 ~ ( a \neq 0)$, cujas raízes são $\textstyle \sf \sf x_1, x_2 ~e ~ x_3$, temos as seguintes relações de Girard:

$\Large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{ x_1 + x_2 +x_3 = - \dfrac{b}{a} } } }$

$\Large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{ x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \dfrac{c}{a} } } }$

$\Large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \dfrac{d}{a} } } }$

Progressão aritmética ( P A ) é toda sequencia de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo ) e o termo anterior é uma constante.

Exemplo:

$\Large \displaystyle \mathsf{a_1 ,a_2,a_3, \cdots , a_n }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ r = a_2 - a_1 }$

Alguns tipos de problema com P.A:

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf a_1 = x- r \\ \sf a_2 = x \\ \sf a_3 = x + r \end{cases}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^3 +3x^{2} +kx - 8 = 0, com ~k \in \mathbb{IR.} } }$

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf a = 1 \\ \sf b = 3 \\ \sf c = k \\ \sf d = - 8 \end{cases}$

O enunciado informa que a equação formam uma progressão aritmética. Logo as raízes são: x - r , x , x + r , onde ( r ) é a razão da PA.

Aplicando a P.A e aplicando a equação de girard da soma, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x_1 + x_2 +x_3 = - \dfrac{b}{a} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{(x - r) + x + (x +r) = - \dfrac{3}{1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x- \diagdown\!\!\!\! {r} + x +x + \diagdown\!\!\!\! {r}= - 3 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3x = - 3 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = - \dfrac{3}{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = -1 }$

Para determinar o valor de k, basta substituir o valo x = - 1 na equação.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^3 +3x^{2} +kx - 8 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (-1)^3 +3 \cdot (-1)^{2} +k \cdot (-1) - 8 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ - 1 +3 \cdot 1 - k - 8 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3 - k -9 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ - k - 6 = 0 }$

$\Large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf k = - 6 }} }$

Determinar as raízes da equação que estão na P.A:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^3 +3x^{2} +kx - 8 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^3 +3x^{2} - 6x - 8 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{( x + 4) \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x + 4 = 0 }$

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf x_1 = - 4 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x + 1 = 0 }$

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf x_2 = - 1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x - 2 = 0 }$

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf x_3 = 2 }$

Logo, P. A é ( -4, -1, 2 ).

Alternativa correta é a letra C.

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