Question

Quest˜ao Em um determinado momento, foram introduzidos 100 peixes em um lago. Um estudo ecol´ogico matem´atico determinou que a popula¸c˜ao dessa esp´ecie de peixes nesse lago ´e dada pela f´ormula
P(t) = 1000
1 + Ae−kt ,
em que t ´e o tempo decorrido, em meses, desde que os primeiros peixes foram postos no lago.
a) Determine a fun¸c˜ao P(t) , sabendo que, passados 3 meses da introdu¸c˜ao dos peixes, a popula¸c˜ao atingiu 250 cabe¸cas.
b) Determine em quantos meses a popula¸c˜ao atingir´a 900 peixes.

Answer 1

a) A função é $P(t) = \frac{1000}{1+9e^{-\frac{t\ln 3}{3} }}$  ou $P(t) = \frac{1000}{1+9 \cdot 3^{-\frac{t}{3}} }$

b) A população atingirá 900 peixes em 12 meses.

$\dotfill$

A função que modela a situação é uma função exponencial onde as constantes a determinar são A e k. Para determiná-las você pode usar da informação da quantidade inicial de peixes no instante zero (t = 0) e também da quantidade de peixes para algum valor de t.

Por mais que a questão aborde função exponencial, naturalmente, a solução de alguns itens passam por logaritmos. Isso é comum, uma vez que os logaritmos constituem operação inversa da exponencial.

Vejamos:

Se no instante inicial foram introduzidos 100 peixes, logo P(0) = 100. Com isso,

$100 = \frac{1000}{1+Ae^{-k\cdot0}}$

$100 = \frac{1000}{1+Ae^{0}}$

$100 = \frac{1000}{1+A}$

$A=9$

Assim, atualizando a função tem-se $P(t) = \frac{1000}{1+9e^{-kt}}$.

Vamos aos itens:

a) Se t = 3, P(3) = 250. Substituindo:

$250 = \frac{1000}{1+9e^{-3k}}$

$1+9e^{-3k} = \frac{1000}{250}$

$1+9e^{-3k} = 4$

$9e^{-3k} = 3$

$e^{-3k} = \frac{1}{3}$

$\ln e^{-3k} = \ln \frac{1}{3}$

$-3k\ln e = -\ln 3$

$-3k = -\ln 3$

$k = \frac{\ln 3}{3}$

Logo, $P(t) = \frac{1000}{1+9e^{-\frac{t\ln 3}{3} }}$  ou $P(t) = \frac{1000}{1+9 \cdot 3^{-\frac{t}{3}} }$

b) Fazendo P(t) = 900,

$900 = \frac{1000}{1+9e^{-\frac{t\ln 3}{3} }}$

$1+9e^{-\frac{t\ln 3}{3} } = \frac{1000}{900}$

$1+9e^{-\frac{t\ln 3}{3} } = \frac{10}{9}$

$9e^{-\frac{t\ln 3}{3} } = \frac{1}{9}$

$e^{-\frac{t\ln 3}{3} } = \frac{1}{81}$

$\ln e^{-\frac{t\ln 3}{3} } = \ln \frac{1}{81}$

$-\frac{t\ln 3}{3} = -4\ln 3$

$t=12$

Até mais!