Question

Quest.: 9
9.
Se c representa uma constante real qualquer, a integral indefinida ∫ e (ex + x) dx é dada por:












Quest.: 9
9.
Se c representa uma constante real qualquer, a integral indefinida ∫ e (ex + x) dx é dada por:











8.
Para a determinação matemática da taxa de contaminação de um certo ambiente, identificando seus máximos e mínimos, ou seja, a determinação da taxa de variação instantânea de uma função f em um ponto X0 utiliza-se o conceito de


limite.


conservação.


seriação.


derivada.


8.
Para a determinação matemática da taxa de contaminação de um certo ambiente, identificando seus máximos e mínimos, ou seja, a determinação da taxa de variação instantânea de uma função f em um ponto X0 utiliza-se o conceito de


limite.


conservação.


seriação.


derivada.


integral.



integral.

Answer 1

9. Pretendemos calcular o integral indefinido:

$\displaystyle\int\textrm{e}^{\left(\textrm{e}^x+x\right)}\textrm{ d}x.$

Começamos por aplicar as propriedades das potências para escrever a integranda na forma:

$\displaystyle\int\textrm{e}^{\textrm{e}^x}\times\textrm{e}^{x}\textrm{ d}x.$

Fazemos agora a substituição $u = \textrm{e}^x$. Diferenciando, temos:

$\textrm{d}u = \textrm{e}^x \textrm{ d}x.$

Temos então:

$\displaystyle\int\textrm{e}^{\overbrace{\textrm{e}^x}^{\displaystyle=u}}\times\underbrace{\textrm{e}^{x}\textrm{ d}x}_{\displaystyle=\textrm{ d}u} = \int \textrm{e}^u\textrm{ d}u.$

Este integral é agora simples, pois sabemos que a derivada da exponencial é a própria exponencial, donde:

$\displaystyle\int \textrm{e}^u\textrm{ d}u = \textrm{e}^u + c, \quad \textrm{com } c \in \mathbb{R}.$

Revertendo agora a substituição $u = \textrm{e}^x$, obtemos o resultado final:

$\displaystyle\boxed{\int\textrm{e}^{\left(\textrm{e}^x+x\right)}\textrm{ d}x=\textrm{e}^{\textrm{e}^x} + c, \quad \textrm{com } c \in \mathbb{R}}.$

8. A taxa de variação média de uma função $f$ num intervalo $[a,b]$ é dada pelo quociente:

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Isto corresponde ao declive da reta secante que interseta o gráfico de $f$ nos pontos de coordenadas $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$.

Para obtermos a taxa de variação instantânea num ponto $x_0$, teremos de determinar o declive da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de coordenadas $(x_0,f(x_0))$. Isto corresponde a utilizar um ponto $x$ "próximo" do ponto $x_0$ pretendido, ou seja, a tomar o limite $x \to x_0$, ou seja:

$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

Este limite corresponde à definição de derivada num ponto:

$f'(x_0) \equiv \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

Para identificar máximos e mínimos da função $f$, utilizam-se os zeros da função derivada $f'$.

Resposta:  derivada.