Question

Quero explicação por que a √0,111... é = √1/9= 1/3 , se tem alguma regra ?

Answer 1

Na verdade há uma forma usada para transformar dizimas em frações:

0,11... = x

Tudo o que precisamos fazer é retirar essa sequencia de 1 entao para fazer isso multiplicamos a equação por 10 e depois subtraimos a primeira equação da segunda:

1,111... = 10x

Entao:
1,11.. - 0,11.. = 10x - x
1 = 9x
x= 1/9
a raiz de 1/9 será √1/√9 = 1/3

Answer 2

Quero explicação por que a √0,111... é = √1/9= 1/3 , se tem alguma regra ?

então

0,1111... como é uma dizima periódica
e que é 0,111...

0,111... = 1 dividido por 9

1
---
9 

   10       |__9____  1 ser menor que o 9  acrescentamos (0,) no quociente e
     10        0,11 ...              e acrescentar 0(ZER0) 
       1(SEMPRE SOBRARÁ RESTO 1) POR ISSO O infinito)


então

√0,111..  = √1/9 
                                               (eliminando  a √ com o (²))
e
                                         1           √1       √1²          1
 √0,111...   = √1/9 =    √ ------- = ------- = ------- = -------
                                         9           √9        √3²         3