Question

Quero explicação passo a passo.

Answer 1

Resposta:

c) $5x$

Explicação passo a passo:

Dadas as funções:

$f(x)=\frac{x+5}{x}\\\\g(x)=\frac{x+4}{5}$

Vamos calcular separado a inversa de $f(x)$. Para isso, trocamos nessa função:

$f(x)$ por $f^{-1}(x)$:

$f^{-1}(x)=\frac{x+5}{x}$

$x$ por $f^{-1}(x)$ e vice-versa:

$x=\frac{f^{-1}(x)+5}{f^{-1}(x)}$

Agora isolamos $f^{-1}(x)$ em um dos lados:

$f^{-1}(x)\cdot x = f^{-1}(x)+5\\\\f^{-1}(x)\cdot x - f^{-1}(x) =5\\\\f^{-1}(x)\cdot (x-1) = 5\\\\f^{-1}(x)=\frac{5}{x-1}$

Agora, calculamos a função composta $g(f(x))$. Para isso, basta substituir na função $g$ o $x$ pelo conteúdo da função $f$:

$g(f(x))=\frac{f(x)+4}{5}\\\\g(f(x))=\frac{\frac{x+5}{x}+4}{5}\\\\g(f(x))=\frac{\frac{x+5+4x}{x}}{5}\\\\g(f(x))=\frac{5+5x}{5x}$

Agora basta substituir, de forma semelhante ao que foi feito anteriormente:

$f^{-1}(g(f(x)))=\frac{5}{g(f(x))-1}\\\\f^{-1}(g(f(x)))=\frac{5}{\frac{5+5x}{5x}-1}\\\\f^{-1}(g(f(x)))=\frac{5}{\frac{5+5x-5x}{5x}}\\\\f^{-1}(g(f(x)))=\frac{5}{\frac{5}{5x}}\\\\f^{-1}(g(f(x)))=\frac{5}{\frac{1}{x}}\\\\f^{-1}(g(f(x)))=5x$